Um gás contido em um conjunto cilindro-pistão passa por um processo no qual a relação entre a pressão e o volume é dada por p.
cte. A pressão inicial é de 9bar, o volume inicial é de
, e a pressão final é de 1bar. Determine:
a) O volume final, em
;
b) O trabalho para o processo, em kJ.
a) O volume final, em
b) O trabalho para o processo, em kJ.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (observação: a relação escrita no enunciado está um pouco confusa; vou interpretar da forma mais provável).
- Relação entre pressão e volume fornecida (interpreto como):
. - Pressão inicial:
. - Volume inicial:
. - Pressão final:
. - O enunciado pede:
a) o volume finalem ;
b) o trabalho realizado no processo, em.
Observação sobre a interpretação da lei: interpretei o símbolo estranho como a lei politrópica
constante com
, isto é
constante. Se a intenção fosse outra, a solução mudaria.
Passo 2
Determinar
usando a relação conservada entre estados 1 e 2.
Se
constante, então vale entre os dois estados:
Isolando
,
Aqui expliquei o passo algébrico: ao passar
para o outro lado divide-se, e depois aplica-se raiz quadrada para obter
.
Passo 3
Calcular numericamente
.
Primeiro, avaliar o fator de razão de pressões:
Logo
Substituindo
,
Passo 4
Explicar o conceito de trabalho em processos quasi-estáticos e montar a integral.
O trabalho realizado pelo gás em um processo quasi-estático é a área sob a curva
e é dado por
onde:
-
é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás se expande); -
é a pressão que depende de ao longo do processo; - os limites
e são volume inicial e final.
Como temos a lei
(constante), podemos escrever a pressão como função de
:
Para usar a integral precisamos conhecer
. Podemos obtê-lo a partir do estado 1:
Passo 5
Calcular a integral explicitamente, passo a passo.
Substituindo
na integral:
Agora recordar a primitiva (regra de integração): para
com
,
Aqui
, então
Aplicando isso na integral:
Substituindo
:
Comentário didático: essa forma final é conveniente porque usa diretamente
,
e a razão
que já conhecemos.
Passo 6
Substituir os valores numéricos e cuidar das unidades.
Primeiro converte-se pressão de bar para pascal porque o SI exige pascal para obter joules:
Logo
Calcular a razão
:
Agora usar a fórmula do passo anterior:
Calcule passo a passo:
E
Portanto
Ou seja
. Convertendo para
:
Passo 7
Interpretação do resultado e comentário final de entendimento.
- O volume final
é maior que , coerente com a queda de pressão quando é constante. - O trabalho
é positivo, o que significa que o gás realizou trabalho sobre o ambiente (expansão). - Dica prática para prova: sempre converta pressões para pascal antes de calcular trabalho para que o resultado saia em joules; e, ao ver uma lei
cte, lembre-se que e que a integral para o trabalho dá uma primitiva do tipo .
Resposta
a)
b)