Um gás contido em um conjunto cilindro-pistão passa por um processo no qual a relação entre a pressão e o volume é dada por p. \forall^{2}= cte. A pressão inicial é de 9bar, o volume inicial é de 0,05 \mathrm{~m}^{3}, e a pressão final é de 1bar. Determine:
a) O volume final, em m^{3};
b) O trabalho para o processo, em kJ.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (observação: a relação escrita no enunciado está um pouco confusa; vou interpretar da forma mais provável).
  • Relação entre pressão e volume fornecida (interpreto como): p\,v^{2}=\text{cte}.
  • Pressão inicial: p_{1}=9\\ \text{bar}.
  • Volume inicial: V_{1}=0,05\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Pressão final: p_{2}=1\\ \text{bar}.
  • O enunciado pede:
    a) o volume final V_{2} em \mathrm{m}^{3};
    b) o trabalho realizado no processo, em \mathrm{kJ}.
Observação sobre a interpretação da lei: interpretei o símbolo estranho como a lei politrópica \,p\,V^{n}= constante com n=2, isto é \,p\,V^{2}= constante. Se a intenção fosse outra, a solução mudaria.

Passo 2

Determinar V_{2} usando a relação conservada entre estados 1 e 2.
Se \,p\,V^{2}= constante, então vale entre os dois estados:
p_{1}V_{1}^{2}=p_{2}V_{2}^{2}.
Isolando V_{2},
V_{2}^{2}=\frac{p_{1}}{p_{2}}\,V_{1}^{2} \quad\Rightarrow\quad V_{2}=V_{1}\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}.
Aqui expliquei o passo algébrico: ao passar V_{1}^{2} para o outro lado divide-se, e depois aplica-se raiz quadrada para obter V_{2}.

Passo 3

Calcular numericamente V_{2}.
Primeiro, avaliar o fator de razão de pressões:
\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{9\\ \text{bar}}{1\\ \text{bar}}=9.
Logo
V_{2}=V_{1}\sqrt{9}=V_{1}\cdot 3.
Substituindo V_{1}=0,05\\ \mathrm{m}^{3},
V_{2}=0,05\cdot 3=0,15\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Explicar o conceito de trabalho em processos quasi-estáticos e montar a integral.
O trabalho realizado pelo gás em um processo quasi-estático é a área sob a curva p(V) e é dado por
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,\mathrm{d}V,
onde:
  • W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás se expande);
  • p é a pressão que depende de V ao longo do processo;
  • os limites V_{1} e V_{2} são volume inicial e final.
Como temos a lei \,p\,V^{2}=C (constante), podemos escrever a pressão como função de V:
p(V)=\frac{C}{V^{2}}.
Para usar a integral precisamos conhecer C. Podemos obtê-lo a partir do estado 1:
C=p_{1}V_{1}^{2}.

Passo 5

Calcular a integral explicitamente, passo a passo.
Substituindo p(V)=C/V^{2} na integral:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{C}{V^{2}}\,\mathrm{d}V = C\int_{V_{1}}^{V_{2}} V^{-2}\,\mathrm{d}V.
Agora recordar a primitiva (regra de integração): para V^{n} com n\neq -1,
\int V^{n}\,\mathrm{d}V=\frac{V^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=-2, então
\int V^{-2}\,\mathrm{d}V=\frac{V^{-1}}{-1}=-V^{-1}=-\frac{1}{V}.
Aplicando isso na integral:
W = C\left[-\frac{1}{V}\right]_{V_{1}}^{V_{2}} = C\left(-\frac{1}{V_{2}}+\frac{1}{V_{1}}\right) = C\left(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\right).
Substituindo C=p_{1}V_{1}^{2}:
W = p_{1}V_{1}^{2}\left(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\right) = p_{1}V_{1}\left(1-\frac{V_{1}}{V_{2}}\right).
Comentário didático: essa forma final é conveniente porque usa diretamente p_{1}, V_{1} e a razão V_{1}/V_{2} que já conhecemos.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e cuidar das unidades.
Primeiro converte-se pressão de bar para pascal porque o SI exige pascal para obter joules:
1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Logo
p_{1}=9\\ \text{bar}=9\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Calcular a razão \dfrac{V_{1}}{V_{2}}:
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{0,05}{0,15}=\frac{1}{3}.
Agora usar a fórmula do passo anterior:
W = p_{1}V_{1}\left(1-\frac{V_{1}}{V_{2}}\right) = (9\times 10^{5})\cdot 0,05\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\\ \mathrm{J}.
Calcule passo a passo:
p_{1}V_{1}=(9\times 10^{5})\cdot 0,05=9\times 0,05\times 10^{5}=0,45\times 10^{5}=4{,}5\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.
E
1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto
W=4{,}5\times 10^{4}\cdot\frac{2}{3}=4{,}5\times 10^{4}\cdot 0{,}666\ldots =3{,}0\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.
Ou seja W=30000\\ \mathrm{J}. Convertendo para \mathrm{kJ}:
W=30\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Interpretação do resultado e comentário final de entendimento.
  • O volume final V_{2}=0,15\\ \mathrm{m}^{3} é maior que V_{1}, coerente com a queda de pressão quando pV^{2} é constante.
  • O trabalho W=30\\ \mathrm{kJ} é positivo, o que significa que o gás realizou trabalho sobre o ambiente (expansão).
  • Dica prática para prova: sempre converta pressões para pascal antes de calcular trabalho para que o resultado saia em joules; e, ao ver uma lei pV^{n}= cte, lembre-se que p=C\,V^{-n} e que a integral para o trabalho dá uma primitiva do tipo V^{-n}.

Resposta

a) 0,15\\ \mathrm{m}^{3}
b) 30\\ \mathrm{kJ}

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