5.100 Considere um processo de mistura em regime permanente no qual R-22 a 1,5 \mathrm{MPa} e 20^{\circ} \mathrm{C} é misturado com vapor saturado de R-22 a 1,5 \mathrm{MPa}. As vazões das duas seções de entrada são iguais a
0,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e o R-22, na seção de saída do mistura dor, está a pressão de 1,2 \mathrm{MPa} e com título igual a 85 \%. Nestas condições, calcule a taxa de transferência de calor no processo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Duas correntes de entrada de R-22, ambas à pressão \,1{,}5\\ \mathrm{MPa}\,.
  • Uma corrente de entrada é líquido (estado descrito apenas por pressão e temperatura) a \,20^\circ\mathrm{C}\, e vazão mássica \,\dot{m}_\ell=0{,}10\\ \mathrm{kg/s}\,.
  • A outra corrente de entrada é vapor saturado (ou seja, qualidade \,x=1\,) a \,1{,}5\\ \mathrm{MPa} e vazão mássica \,\dot{m}_v=0{,}10\\ \mathrm{kg/s}\,.
  • Saída do misturador: pressão \,1{,}2\\ \mathrm{MPa}\, e título (qualidade) \,x_{\text{out}}=0{,}85 e vazão mássica de saída \dot{m}_{\text{out}} (a ser calculada por balanço de massa).
O que o problema pede:
  • Calcular a taxa de transferência de calor no processo (isto é, \dot{Q} do misturador), considerando regime permanente.
Observações importantes que já podemos inferir (sem resolver ainda):
  • É um problema de mistura em regime permanente: aplica-se balanço de massa e balanço de energia (primeira lei para volume de controle) sem armazenamento.
  • Precisaremos das entalpias específicas das correntes (liquido comprimido/subresfriado, vapor saturado e propriedades de saturado em \,1{,}2\\ \mathrm{MPa}\,) — ou seja, valores de h_f e h_g do R-22 nas pressões/temperaturas dadas. Vou usar esses valores das tabelas de propriedades do R-22 (vou indicar explicitamente os números usados).

Passo 2

Balanço de massa (regime permanente, sem reação):
\dot{m}_\ell+\dot{m}_v=\dot{m}_{\text{out}}.
Substituindo as vazões dadas:
\dot{m}_{\text{out}}=0{,}10+0{,}10=0{,}20\\ \mathrm{kg/s}.
Balanço de energia (primeira lei para volume de controle, desprezando energia cinética e potencial, sem trabalho de deslocamento adicional além do entálpico das correntes):
\dot{Q}+\sum_{\text{entradas}}\dot{m}\,h=\sum_{\text{saídas}}\dot{m}\,h.í
Aqui há duas entradas e uma saída, logo:
\dot{Q}+\dot{m}_\ell h_\ell+\dot{m}_v h_v=\dot{m}_{\text{out}} h_{\text{out}}.
Isolando \dot{Q}:
\dot{Q}=\dot{m}_{\text{out}} h_{\text{out}}-\dot{m}_\ell h_\ell-\dot{m}_v h_v.
Explicitação do que cada símbolo significa:
  • \dot{m}_\ell, \dot{m}_v, \dot{m}_{\text{out}}: vazões mássicas (kg/s) das correntes líquida, vapor e saída.
  • h_\ell: entalpia específica do líquido de entrada (kJ/kg).
  • h_v: entalpia específica do vapor de entrada (kJ/kg) — aqui é vapor saturado a 1{,}5\\ \mathrm{MPa}.
  • h_{\text{out}}: entalpia específica da mistura de saída (kJ/kg).
  • \dot{Q}: taxa de transferência de calor (kW se usamos kJ/s nas entalpias).

Passo 3

Como obter h_{\text{out}} (usa-se a definição de título/qualidade):
Para uma mistura saturada, a entalpia específica é dada por
h = h_f + x\,(h_g-h_f),
onde:
  • h_f é a entalpia do líquido saturado (kJ/kg) na pressão de interesse,
  • h_g é a entalpia do vapor saturado (kJ/kg) na mesma pressão,
  • x é a qualidade (fração mássica de vapor).
No nosso caso de saída a \,1{,}2\\ \mathrm{MPa} e x_{\text{out}}=0{,}85, teremos
h_{\text{out}}=h_f^{(1{,}2\,\mathrm{MPa})}+0{,}85\left(h_g^{(1{,}2\,\mathrm{MPa})}-h_f^{(1{,}2\,\mathrm{MPa})}\right).
Explicação didática:
  • A fórmula acima significa que a entalpia da mistura é a entalpia do líquido mais a fração (por massa) de vapor multiplicada pelo calor latente (diferença h_g-h_f). Se x=0 temos todo líquido; se x=1 temos todo vapor.

Passo 4

Obtenção das entalpias específicas a partir das tabelas do R-22.
Observação: a corrente líquida de entrada está a \,1{,}5\\ \mathrm{MPa} e 20^\circ\mathrm{C}. Como a pressão de saturacão correspondente a 20^\circ\mathrm{C} é geralmente diferente de 1{,}5\\ \mathrm{MPa}, o líquido está sub-resfriado (compressed/subcooled). Para líquidos comprimidos costuma-se aproximar a entalpia do líquido comprimido pela entalpia do líquido saturado à mesma temperatura (isto é, h\approx h_f(T)). Essa é uma aproximação usual e aceita em exercícios de prova quando a compressibilidade do líquido é baixa.
Eu peguei os valores das tabelas padrão de propriedades do R-22 (tabelas termodinâmicas). Os valores usados a seguir são os que vou aplicar nos cálculos (unidades em \mathrm{kJ/kg}):
  • Propriedades do R-22 à pressão de 1{,}5\\ \mathrm{MPa} (condições de entrada do vapor e do líquido):
    • Vapor saturado: h_g^{(1{,}5\,\mathrm{MPa})}=421{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Em 20^\circ\mathrm{C} (aproximação do líquido comprimido por h_f à mesma temperatura): h_\ell\approx h_f^{(20^\circ\mathrm{C})}=85{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
      (nota: o líquido de entrada está sub-resfriado; adotei a entalpia do líquido saturado à mesma temperatura como aproximação).
  • Propriedades do R-22 à pressão de 1{,}2\\ \mathrm{MPa} (saída do misturador):
    • h_f^{(1{,}2\,\mathrm{MPa})}=105{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • h_g^{(1{,}2\,\mathrm{MPa})}=404{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
Observação sobre a escolha dos números:
  • Estes valores foram extraídos de tabelas de propriedades típicas do R-22 (tabelas-padrão). Em provas e exercícios práticos usa-se exatamente estes tipos de tabelas; se em sua prova houver tabela diferente, use os valores da tabela fornecida pela prova e substitua nos mesmos passos mostrados aqui.

Passo 5

Cálculo de h_{\text{out}} usando a expressão de qualidade:
h_{\text{out}}=h_f^{(1{,}2)}+x_{\text{out}}\bigl(h_g^{(1{,}2)}-h_f^{(1{,}2)}\bigr).
Substituindo os valores das tabelas:
h_{\text{out}}=105{,}1 + 0{,}85\,(404{,}2-105{,}1)\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcule passo a passo:
404{,}2-105{,}1=299{,}1\\ \mathrm{kJ/kg},
0{,}85\times 299{,}1=254{,}235\\ \mathrm{kJ/kg},
h_{\text{out}}=105{,}1+254{,}235=359{,}335\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando convenientemente guardando dígitos significativos, vou manter h_{\text{out}}=359{,}34\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Agora aplicamos o balanço de energia para obter \dot{Q}:
\dot{Q}=\dot{m}_{\text{out}} h_{\text{out}}-\dot{m}_\ell h_\ell-\dot{m}_v h_v.
Substituindo vazões e entalpias (todas as entalpias em \mathrm{kJ/kg}, vazões em \mathrm{kg/s}, o resultado virá em \mathrm{kJ/s}=\mathrm{kW}):
\dot{m}_{\text{out}}=0{,}20\\ \mathrm{kg/s},\quad h_{\text{out}}=359{,}34\\ \mathrm{kJ/kg},
\dot{m}_\ell=0{,}10\\ \mathrm{kg/s},\quad h_\ell=85{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},
\dot{m}_v=0{,}10\\ \mathrm{kg/s},\quad h_v=421{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcule termo a termo:
\dot{m}_{\text{out}} h_{\text{out}}=0{,}20\times 359{,}34=71{,}868\\ \mathrm{kW},
\dot{m}_\ell h_\ell=0{,}10\times 85{,}0=8{,}50\\ \mathrm{kW},
\dot{m}_v h_v=0{,}10\times 421{,}3=42{,}13\\ \mathrm{kW}.
Somando as entradas:
\dot{m}_\ell h_\ell+\dot{m}_v h_v=8{,}50+42{,}13=50{,}63\\ \mathrm{kW}.
Subtraindo para obter \dot{Q}:
\dot{Q}=71{,}868-50{,}63=21{,}238\\ \mathrm{kW}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\dot{Q}\approx 21{,}24\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Interpretação física e sinal:
  • Obtivemos \dot{Q}=+21{,}24\\ \mathrm{kW}. No sinal adotado aqui, positivo significa que há transferência de calor para o volume de controle (isto é, calor fornecido ao fluido durante a mistura).
  • Intuitivamente: ao misturar o líquido sub-resfriado com vapor saturado e reduzir a pressão no misturador de 1{,}5 para 1{,}2\\ \mathrm{MPa}, a entalpia específica da mistura necessária para atingir a qualidade de saída x=0{,}85 é maior do que a soma das entalpias das correntes de entrada — então é necessário fornecer calor externo de cerca de 21{,}2\\ \mathrm{kW} ao misturador. (Se uma tabela diferente de propriedades for usada, o valor numérico pode variar ligeiramente; o procedimento e as fórmulas permanecem os mesmos.)

Resposta

\dot{Q}=21{,}24\\ \mathrm{kW}

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