Um gás ideal com capacidades calorificas constantes passa por uma mudança de estado das condições T_{1}, P_{1} para as condições T_{2}, P_{2}. Determine \Delta H\left(\mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}\right) e \Delta S\left(\mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\right) para cada um dos seguintes casos:
T_{1}=300 \mathrm{~K}, P_{1}=1,2 \mathrm{bar}, T_{2}=450 \mathrm{~K}, P_{2}=6 \mathrm{bar}, C_{P} / R=7 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o incremento de entalpia e o incremento de entropia por mol entre dois estados de um gás ideal que tem capacidades caloríficas constantes. Dados fornecidos:
T_{1}=300\\ \mathrm{K},\quad P_{1}=1{,}2\\ \mathrm{bar},\quad T_{2}=450\\ \mathrm{K},\quad P_{2}=6\\ \mathrm{bar},
\frac{C_{P}}{R}=\frac{7}{2}.
As incógnitas são \Delta H em \mathrm{J\;mol^{-1}} e \Delta S em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 2

Fórmula para \Delta H de um gás ideal com C_{P} constante: a entalpia de um gás ideal depende apenas da temperatura, logo
\Delta H = \int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{P}\,dT = C_{P}\,(T_{2}-T_{1}).
Aqui C_{P} é a capacidade molar a pressão constante (unidades \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}), T_{1} e T_{2} são as temperaturas inicial e final (em K).

Passo 3

Determinar numericamente C_{P} a partir de \dfrac{C_{P}}{R}=\dfrac{7}{2}. Tomando a constante dos gases R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},
C_{P}=\frac{7}{2}R=3{,}5\,R.
Substituindo numericamente:
C_{P}=3{,}5\times 8{,}314462618\\ =\\\ 29{,}100619163\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 4

Calcular \Delta H usando a fórmula do Passo 2:
\Delta H = C_{P}\,(T_{2}-T_{1}) = 29{,}100619163\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}\times(450-300)\\ \mathrm{K}.
Fazendo a multiplicação:
\Delta H = 29{,}100619163\times 150 = 4\,365{,}092874\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Arredondando razoavelmente:
\Delta H \approx 4\,365{,}1\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.

Passo 5

Agora a entropia. Usamos a identidade termodinâmica para entalpia:
dH = T\,dS + V\,dP.
Rearranjando,
dS=\frac{dH}{T}-\frac{V}{T}\,dP.
Para um gás ideal dH=C_{P}\,dT e V=\dfrac{RT}{P}. Substituindo:
dS=\frac{C_{P}\,dT}{T}-\frac{R}{P}\,dP.
Integrando entre os estados 1 e 2 (capacidades constantes):
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{P}}{T}\,dT-\int_{P_{1}}^{P_{2}}\frac{R}{P}\,dP
que resulta na fórmula prática
\Delta S = C_{P}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right).
Nesta fórmula, \ln é o logaritmo natural; C_{P} e R já estão em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}, e as pressões devem estar na mesma unidade (a razão é adimensional).

Passo 6

Calcular numericamente \Delta S. Primeiro as razões:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{450}{300}=1{,}5,\qquad \frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{6}{1{,}2}=5.
Os logaritmos naturais:
\ln\!\left(1{,}5\right)=0{,}4054651081,\qquad \ln(5)=1{,}6094379124.
Aplicando a fórmula com C_{P}=29{,}100619163 e R=8{,}314462618:
\Delta S = 29{,}100619163\times 0{,}4054651081 - 8{,}314462618\times 1{,}6094379124.
Calculando cada termo:
C_{P}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)\approx 11{,}801\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},
R\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)\approx 13{,}383\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Subtraindo:
\Delta S \approx 11{,}801 - 13{,}383 = -1{,}582836\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Arredondando:
\Delta S \approx -1{,}583\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 7

Resumo físico rápido (para te animar): a entalpia aumentou porque a temperatura subiu (energia térmica maior), mas a entropia ficou ligeiramente negativa porque a subida de pressão (de 1{,}2 para 6\\ \mathrm{bar}) reduz a entropia mais do que o aumento de temperatura a aumenta — resultado pequeno e negativo.

Resposta

\Delta H = 4\,365{,}1\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
\Delta S = -1{,}583\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}

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