Um vaso rígido, com 0,06 \mathrm{~m}^{3} de volume, contém um gás ideal, C_{v}=(5 / 2) R, a 500 K e 1 bar.
Se uma quantidade de calor igual a 15.000 J for transferida para o gás, determine a sua variação de entropia.

Passo 1

O que o problema pede: você quer a variação de entropia do gás quando é transferida para ele uma quantidade de calor. \n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
V = 0,06\\ \mathrm{m^{3}}
P_{1} = 1\\ \text{bar} = 1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}
T_{1} = 500\\ \mathrm{K}
Q = 15\,000\\ \mathrm{J}
C_{v,m} = \frac{5}{2}R
(obs.: C_{v,m} é o calor específico molar a volume constante; R é a constante universal dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}). \n
O vaso é rígido, portanto o volume do gás não muda. A pergunta é: \Delta S do gás após receber Q.

Passo 2

Primeiro precisamos saber quantas mols de gás existem no vaso, porque C_{v} foi dado por mol. Usei a equação dos gases ideais:
n = \frac{P_{1}V}{R T_{1}}.
Substituindo os valores:
n = \frac{(1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa})\cdot(0{,}06\\ \mathrm{m^{3}})}{8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\cdot 500\\ \mathrm{K}}.
Calcule o numerador e denominador:
P_{1}V = 1{,}0\times 10^{5}\cdot 0{,}06 = 6{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
R T_{1} = 8{,}314\cdot 500 = 4{,}157\\ \mathrm{J/mol}
Logo
n \approx \frac{6{,}0\times 10^{3}}{4{,}157} \approx 1{,}444\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Como o vaso é rígido, não há trabalho de fronteira (pressão–volume), então W=0. Pela primeira lei da termodinâmica para sistema fechado:
\Delta U = Q - W = Q.
Para um gás ideal, a variação de energia interna depende só da temperatura e é dada por
\Delta U = n C_{v,m} (T_{2}-T_{1}).
Igualando as duas expressões para \Delta U obtemos Q = n C_{v,m} (T_{2}-T_{1}), daí
T_{2} = T_{1} + \frac{Q}{n C_{v,m}}.

Passo 4

Calcule C_{v,m} numericamente:
C_{v,m} = \frac{5}{2}R = 2{,}5 \cdot 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Agora calcule a variação de temperatura:
\Delta T = \frac{Q}{n C_{v,m}} = \frac{15\,000}{1{,}444\cdot 20{,}785}.
Primeiro o produto no denominador:
n C_{v,m} \approx 1{,}444\cdot 20{,}785 \approx 30{,}003\\ \mathrm{J/K}.
Logo
\Delta T \approx \frac{15\,000}{30{,}003} \approx 500\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura final é
T_{2} = T_{1} + \Delta T \approx 500 + 500 = 1000\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Agora a entropia. A entropia é uma função de estado, então a variação \Delta S entre os estados inicial e final pode ser calculada através de qualquer processo reversível que ligue esses estados. Para um processo reversível a volume constante temos \delta Q_{rev} = n C_{v,m}\,dT. Assim
\Delta S = \int_{1}^{2} \frac{\delta Q_{rev}}{T} = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{n C_{v,m}\,dT}{T} = n C_{v,m} \ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right).
Aqui cada símbolo significa:
n:\\ \text{número de mols}, \quad C_{v,m}:\\ \text{capacidade térmica molar a volume constante}, \quad T_{1},T_{2}:\\ \text{temperaturas inicial e final}.úé

Passo 6

Substituindo os valores que já achamos:
\Delta S = n C_{v,m} \ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) = 1{,}444\cdot 20{,}785 \cdot \ln\!\left(\frac{1000}{500}\right).
Note que \ln(1000/500)=\ln 2\approx 0{,}693147. Usando n C_{v,m}\approx 30{,}003\\ \mathrm{J/K},
\Delta S \approx 30{,}003 \cdot 0{,}693147 \approx 20{,}79\\ \mathrm{J/K}.
O sinal é positivo porque o gás recebeu calor e sua entropia aumentou.

Resposta

\Delta S \approx 20{,}79\\ \mathrm{J/K}

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