Um gás ideal poliatômico com CV=4,2 R está inicialmente a 47^circ C. Quando sofre uma compressão adiabática, seu volume atinge um terço do volume inicial. Qual será a nova temperatura de equilíbrio?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão envolve um gás ideal poliatômico que sofre uma compressão adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. Vou te explicar cada passo para chegarmos na nova temperatura de equilíbrio. Vamos precisar entender um pouco sobre termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e as relações entre temperatura e volume em tais processos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre a temperatura e o volume é dada pela fórmula:
T cdot V^gamma - 1 = constante
Aqui, gamma = CpCv (gamma) é a relação entre as capacidades térmicas a pressão constante ( ) e a volume constante ( ):

Passo 3

Como temos Cp = Cv + R , onde gamma = Cv + RCv = 1 + RCv é a constante dos gases ideais, podemos encontrar gamma = 1 + R4,2 , R = 1 + 14,2 approx 1,238 . Sabemos que:
Então,
Substituindo :

Passo 4

A temperatura inicial está em graus Celsius, mas para usar nas equações físicas, precisamos converter para Kelvin. A conversão é feita somando 273,15:
T1 = 47^circC + 273,15 = 320,15 , K
Vamos arredondar para 320 K para facilitar.

Passo 5

A compressão adiabática reduziu o volume para um terço do inicial, então:
V2V1 = 13
Queremos encontrar a nova temperatura T1 cdot V1^gamma - 1 = T2 cdot V2^gamma - 1 . Usando a relação adiabática:
T2 = T1 cdot ( V1V2 )^gamma - 1
Podemos rearranjar para encontrar T2 = 320 , K cdot 3^0,238 :
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos calcular 3^0,238 approx 1,3 . Isso pode ser feito usando uma calculadora:
T2 approx 320 , K cdot 1,3 = 416 , K
Então,

Resposta

A nova temperatura de equilíbrio após a compressão adiabática é aproximadamente 416 K, o que corresponde a cerca de 143°C.

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