Gás nitrogênio se encontra a -98,15°C e possui um volume específico de 0,00375 m³/kg. Determine a pressão deste gás, com base:
c) pelo fator de compressibilidade.
Compare os valores calculados com o resultado de 10.000 kPa obtido experimentalmente. Considere a constante do gás nitrogênio como R=0,2968 kPa⋅m³/kg⋅K.

Passo 1

Vamos organizar tudo que o enunciado dá e o que ele pede, bem devagarinho para não se perder.
  • Dados do enunciado:
    • Temperatura: \,T = -98{,}15^\circ\text{C}.
      Primeiro passo óbvio: converter para kelvin. T = -98{,}15 + 273{,}15 = 175{,}00\\ \text{K}.
    • Volume específico: \,v = 0{,}00375\\ \text{m}^3/\text{kg}.
    • Constante do gás nitrogênio: \,R = 0{,}2968\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{K}).
    • Valor experimental para comparar: \,p_{\text{exp}} = 10\,000\\ \text{kPa}.
  • O que o problema pede (parte c):
    • Determinar a pressão do gás usando o fator de compressibilidade (ou seja, levando em conta comportamento real do gás).
    • Comparar o valor calculado com o valor experimental de 10\,000\\ \text{kPa}.
Observação: para obter o fator de compressibilidade precisamos de uma correlação real de gás. Eu vou usar a Equação de Estado de Peng–Robinson (método padrão em termodinâmica para prever comportamento real) para estimar o fator de compressibilidade e daí obter a pressão. A escolha da Peng–Robinson será explicada nos passos seguintes — ela é adequada, simples o suficiente para calcular à mão com cuidado e costuma dar resultados muito próximos de dados experimentais para nitrogênio.

Passo 2

Conceito central: fator de compressibilidade Z.
  • Definição e fórmula básica:
    Z \equiv \frac{p\,v}{R\,T}.
    Aqui:
    • \,p é a pressão (kPa),
    • \,v é o volume específico (m³/kg),
    • \,R é a constante específica do gás (kPa·m³/kg·K),
    • \,T é a temperatura absoluta (K).
  • Se o gás fosse ideal, teríamos Z=1 e
    p_{\text{ideal}} = \frac{R\,T}{v}.
    Vamos calcular esse valor primeiro só para termos referência (é uma conta simples e útil para comparar):
    R\,T = 0{,}2968 \times 175{,}00 = 51{,}94\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{kg}.
p_{\text{ideal}} = \frac{51{,}94}{0{,}00375} \approx 13\,851\\ \text{kPa}.
Observação amigável: o ideal prevê 13{,}851\\ \text{kPa}, bem maior que o experimental 10{,}000\\ \text{kPa}. Isso já nos diz que efeitos não-ideais são importantes aqui (Z será bastante menor que 1).

Passo 3

Por que usar a Equação de Peng–Robinson (PR)?
  • Pra estimar Z de maneira prática precisamos de uma equação de estado real. Existem várias (Virial, Redlich–Kwong, PR, etc.).
  • Escolhi Peng–Robinson porque:
    • É amplamente usada para predições de propriedades de fluidos puros;
    • Fornece boa precisão para nitrogênio nas condições aqui;
    • Permite calcular a pressão diretamente a partir de v e T (o que precisamos).
  • A forma da PR (usada na forma com volume específico) é: p = \frac{R\,T}{v-b} - \frac{a\,\alpha}{v^2 + 2 b v - b^2}.Onde a, b e \alpha são constantes da equação dependentes das propriedades críticas e do fator acêntrico do gás (vou calcular tudo passo a passo).

Passo 4

Propriedades críticas e fator acêntrico do nitrogênio (valores tabulados, de literatura padrão):
  • Temperatura crítica: \,T_c = 126{,}2\\ \text{K}.
  • Pressão crítica: \,P_c = 3{,}390\\ \text{MPa} = 3{,}390\cdot10^3\\ \text{kPa} = 3390\\ \text{kPa}.
  • Fator acêntrico: \,\omega = 0{,}0372.
(Usei estes valores porque são os valores de referência para nitrogênio em tabelas.)

Passo 5

Cálculo dos parâmetros de Peng–Robinson: kappa, \alpha, a e b.
  • Primeiro, razão reduzida da temperatura: T_r = \frac{T}{T_c} = \frac{175{,}00}{126{,}2} \approx 1{,}3866.
  • Cálculo de \kappa: \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^2.Substituindo \omega = 0{,}0372: \kappa \approx 0{,}37464 + 1{,}54226\times0{,}0372 - 0{,}26992\times(0{,}0372)^2 \approx 0{,}43162.
  • Cálculo de \alpha: \alpha = \bigl[1 + \kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr]^2.
\sqrt{T_r}\approx 1{,}1784
1-\sqrt{T_r}\approx -0{,}1784\quad\Rightarrow\quad 1+\kappa(1-\sqrt{T_r})\approx 0{,}9230
\alpha \approx (0{,}9230)^2 = 0{,}8519.
  • Agora a e b (fórmulas PR): a = 0{,}45724\,\frac{R^2\,T_c^2}{P_c}, \qquad b = 0{,}07780\,\frac{R\,T_c}{P_c}.Calculando passo a passo (unidades consistentes: R em kPa·m³/kg·K, T_c em K, P_c em kPa): R^2 = (0{,}2968)^2 = 0{,}08809024
T_c^2 = (126{,}2)^2 = 15\,926{,}44
R^2 T_c^2 \approx 0{,}08809024 \times 15\,926{,}44 \approx 1\,404{,}16
a = 0{,}45724 \times \frac{1\,404{,}16}{3\,390} \approx \frac{642{,}04}{3\,390} \approx 0{,}18942\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^6/\text{kg}^2.
(unidade convencional: kPa·(m³/kg)²)
R\,T_c = 0{,}2968 \times 126{,}2 \approx 37{,}456
b = 0{,}07780 \times \frac{37{,}456}{3\,390} \approx \frac{2{,}9138}{3\,390} \approx 0{,}0008595\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Finalmente o produto atraente efetivo: a\,\alpha \approx 0{,}18942 \times 0{,}8519 \approx 0{,}1613\\ \text{kPa}\cdot(\text{m}^3/\text{kg})^2.

Passo 6

Agora aplicamos a Equação de Peng–Robinson para calcular a pressão p usando o volume específico dado \,v=0{,}00375\\ \text{m}^3/\text{kg}.
A equação é:
p = \frac{R\,T}{v-b} - \frac{a\,\alpha}{v^2 + 2 b v - b^2}.
  • Calculemos cada termo numericamente:
    • Primeiro termo (termo repulsivo): v-b = 0{,}00375 - 0{,}0008595 = 0{,}0028905\\ \text{m}^3/\text{kg}.
R\,T = 51{,}94\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{kg} \quad(\text{já calculado}).á
\frac{R\,T}{v-b} = \frac{51{,}94}{0{,}0028905} \approx 17\,974\\ \text{kPa}.
  • Segundo termo (termo atraente): v^2 = (0{,}00375)^2 = 0{,}0000140625,
2 b v = 2\times0{,}0008595\times0{,}00375 = 0{,}00000644625,
b^2 = (0{,}0008595)^2 \approx 0{,}0000007387,
v^2 + 2 b v - b^2 \approx 0{,}0000140625 + 0{,}00000644625 - 0{,}0000007387 \approx 0{,}00001977.
\frac{a\,\alpha}{v^2 + 2 b v - b^2} \approx \frac{0{,}1613}{0{,}00001977} \approx 8\,160\\ \text{kPa}.
  • Subtraindo: p \approx 17\,974 - 8\,160 = 9\,814\\ \text{kPa}.
Esse é o valor de pressão calculado pela Equação de Peng–Robinson (que incorpora o fator de compressibilidade de forma implícita).

Passo 7

A partir de p calculado podemos obter o fator de compressibilidade Z correspondente:
Z = \frac{p\,v}{R\,T}.
Substituindo:
p \approx 9\,814\\ \text{kPa},\quad v=0{,}00375\\ \text{m}^3/\text{kg},\quad R\,T=51{,}94
p\,v = 9\,814 \times 0{,}00375 = 36{,}8025
Z \approx \frac{36{,}8025}{51{,}94} \approx 0{,}7085.
Para efeito de comparação, o fator de compressibilidade deduzido diretamente do valor experimental (p_{\text{exp}}=10\,000\\ \text{kPa}) seria:
Z_{\text{exp}} = \frac{10\,000 \times 0{,}00375}{51{,}94} \approx \frac{37{,}5}{51{,}94} \approx 0{,}7217.

Passo 8

Comparação numérica entre os resultados:
  • Pressão pela PR (fator de compressibilidade via Peng–Robinson): p_{\text{PR}} \approx 9\,814\\ \text{kPa}.
  • Pressão experimental: p_{\text{exp}} = 10\,000\\ \text{kPa}.
  • Diferença absoluta: \Delta p = p_{\text{exp}} - p_{\text{PR}} = 10\,000 - 9\,814 = 186\\ \text{kPa}.
  • Erro percentual relativo em relação ao experimental: \frac{\Delta p}{p_{\text{exp}}}\times 100\% \approx \frac{186}{10\,000}\times100\% \approx 1{,}86\%.
Comentário final curto e amigo: a PR deu 9{,}814\\ \text{kPa}, muito perto dos 10{,}000\\ \text{kPa} experimentais — diferença pequena (~1,9%). O sinal de Z<1 confirma que forças atrativas dominam nas condições dadas (o gás está “mais condensável” que o ideal).

Resposta

p_{\text{calculada (PR)}} \approx 9\,814\\ \text{kPa}
Z_{\text{calculado}} \approx 0{,}7085
Z_{\text{experimental}} \approx 0{,}7217
Diferença absoluta: 186\\ \text{kPa} (o valor calculado é menor)
Erro relativo: \approx 1{,}86\%

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