Gás nitrogênio se encontra a -98,15°C e possui um volume específico de 0,00375 m³/kg. Determine a pressão deste gás, com base:
c) pelo fator de compressibilidade.
Compare os valores calculados com o resultado de 10.000 kPa obtido experimentalmente. Considere a constante do gás nitrogênio como R=0,2968 kPa⋅m³/kg⋅K.
c) pelo fator de compressibilidade.
Passo 1
Vamos organizar tudo que o enunciado dá e o que ele pede, bem devagarinho para não se perder.
-
Dados do enunciado:
- Temperatura:
.
Primeiro passo óbvio: converter para kelvin. - Volume específico:
- Constante do gás nitrogênio:
- Valor experimental para comparar:
- Temperatura:
-
O que o problema pede (parte c):
- Determinar a pressão do gás usando o fator de compressibilidade (ou seja, levando em conta comportamento real do gás).
- Comparar o valor calculado com o valor experimental de
.
Observação: para obter o fator de compressibilidade precisamos de uma correlação real de gás. Eu vou usar a Equação de Estado de Peng–Robinson (método padrão em termodinâmica para prever comportamento real) para estimar o fator de compressibilidade e daí obter a pressão. A escolha da Peng–Robinson será explicada nos passos seguintes — ela é adequada, simples o suficiente para calcular à mão com cuidado e costuma dar resultados muito próximos de dados experimentais para nitrogênio.
Passo 2
Conceito central: fator de compressibilidade
.
-
Definição e fórmula básica:Aqui:
-
é a pressão (kPa), -
é o volume específico (m³/kg), -
é a constante específica do gás (kPa·m³/kg·K), -
é a temperatura absoluta (K).
-
-
Se o gás fosse ideal, teríamos
e Vamos calcular esse valor primeiro só para termos referência (é uma conta simples e útil para comparar):
Observação amigável: o ideal prevê
, bem maior que o experimental
. Isso já nos diz que efeitos não-ideais são importantes aqui (Z será bastante menor que 1).
Passo 3
Por que usar a Equação de Peng–Robinson (PR)?
- Pra estimar
de maneira prática precisamos de uma equação de estado real. Existem várias (Virial, Redlich–Kwong, PR, etc.). - Escolhi Peng–Robinson porque:
- É amplamente usada para predições de propriedades de fluidos puros;
- Fornece boa precisão para nitrogênio nas condições aqui;
- Permite calcular a pressão diretamente a partir de
e (o que precisamos).
- A forma da PR (usada na forma com volume específico) é:
Onde , e são constantes da equação dependentes das propriedades críticas e do fator acêntrico do gás (vou calcular tudo passo a passo).
Passo 4
Propriedades críticas e fator acêntrico do nitrogênio (valores tabulados, de literatura padrão):
- Temperatura crítica:
- Pressão crítica:
- Fator acêntrico:
(Usei estes valores porque são os valores de referência para nitrogênio em tabelas.)
Passo 5
Cálculo dos parâmetros de Peng–Robinson:
,
,
e
.
- Primeiro, razão reduzida da temperatura:
- Cálculo de
: Substituindo : - Cálculo de
:
- Agora
e (fórmulas PR): Calculando passo a passo (unidades consistentes: em kPa·m³/kg·K, em K, em kPa):
(unidade convencional: kPa·(m³/kg)²)
- Finalmente o produto atraente efetivo:
Passo 6
Agora aplicamos a Equação de Peng–Robinson para calcular a pressão
usando o volume específico dado
.
A equação é:
-
Calculemos cada termo numericamente:
- Primeiro termo (termo repulsivo):
- Primeiro termo (termo repulsivo):
- Segundo termo (termo atraente):
- Subtraindo:
Esse é o valor de pressão calculado pela Equação de Peng–Robinson (que incorpora o fator de compressibilidade de forma implícita).
Passo 7
A partir de
calculado podemos obter o fator de compressibilidade
correspondente:
Substituindo:
Para efeito de comparação, o fator de compressibilidade deduzido diretamente do valor experimental
seria:
Passo 8
Comparação numérica entre os resultados:
- Pressão pela PR (fator de compressibilidade via Peng–Robinson):
- Pressão experimental:
- Diferença absoluta:
- Erro percentual relativo em relação ao experimental:
Comentário final curto e amigo: a PR deu
, muito perto dos
experimentais — diferença pequena (~1,9%). O sinal de
confirma que forças atrativas dominam nas condições dadas (o gás está “mais condensável” que o ideal).
Resposta
Diferença absoluta:
Erro relativo: