Gás nitrogênio se encontra a -98,15°C e possui um volume específico de 0,00375 m³/kg. Determine a pressão deste gás, com base:
b) na equação de estado de van der Waals;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a pressão do nitrogênio usando a equação de van der Waals:
  • Temperatura: \,-98{,}15^\circ\mathrm{C}.
  • Volume específico (por massa): \,0{,}00375\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Pedido: determinar a pressão do gás usando a equação de estado de van der Waals.
Informações adicionais que vou usar (valores padrão de propriedades do nitrogênio que normalmente aparecem em tabelas): temperatura crítica e pressão crítica do nitrogênio, que eu tomo como
\,T_c = 126{,}2\\ \mathrm{K} e \,P_c = 3{,}39\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Também uso a massa molar do nitrogênio molecular: \,M = 28{,}0134\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}0280134\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 2

Apresentação da equação de van der Waals por mol e explicação dos termos:
A forma por mol da equação de van der Waals é
\left(P+\frac{a}{V_m^{2}}\right)\,(V_m-b)=R\,T,
onde:
  • P é a pressão (que queremos),
  • V_m é o volume molar (m³/mol),
  • T é a temperatura absoluta (K),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • a e b são constantes de van der Waals específicas da substância, que corrigem atração intermolecular ( a) e volume finito das moléculas ( b).
Isolando P obtemos a fórmula prática para cálculo:
P=\frac{R\,T}{V_m-b}-\frac{a}{V_m^{2}}.
Vou calcular cada termo passo a passo.

Passo 3

Converter temperatura e volume específico para as unidades necessárias e calcular o volume molar:
  • Converter a temperatura para Kelvin:
T = -98{,}15^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 175{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Converter o volume específico (m³/kg) para volume molar (m³/mol) usando V_m = v\cdot M, onde v é o volume específico e M a massa molar em \mathrm{kg/mol}:
V_m = 0{,}00375\\ \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{kg}}\times 0{,}0280134\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{mol}} = 0{,}00010505025\\ \mathrm{m^3/mol}.
Para simplificar os cálculos a seguir, anoto
V_m \approx 1{,}0505\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol}.

Passo 4

Obter as constantes a e b. Explico como relacioná‑las com as propriedades críticas (fórmulas da própria equação de van der Waals):
As relações entre as constantes e as propriedades críticas são
T_c=\frac{8a}{27Rb},\qquad P_c=\frac{a}{27b^{2}},\qquad V_c=3b.
Dessas equações podemos isolar b e a:
b=\frac{R\,T_c}{8\,P_c}, \qquad a=\frac{27\,R^{2}\,T_c^{2}}{64\,P_c}.
Vou usar \,T_c = 126{,}2\\ \mathrm{K} e \,P_c = 3{,}39\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (valores tabelados para \mathrm{N_2}).

Passo 5

Cálculo de b:
Aplicando
b=\frac{R\,T_c}{8\,P_c}
com R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T_c=126{,}2\\ \mathrm{K}, P_c=3{,}39\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, obtemos
b=\frac{8{,}314462618\times126{,}2}{8\times 3{,}39\times10^{6}} \approx 3{,}869\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.
Interpretação rápida: b é do mesmo ordem de grandeza de 10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}, que corresponde ao volume físico ocupado por uma mol de moléculas.

Passo 6

Cálculo de a:
Aplicando
a=\frac{27\,R^{2}\,T_c^{2}}{64\,P_c}
com os mesmos R, T_c e P_c, obtemos
a=\frac{27\times (8{,}314462618)^{2}\times(126{,}2)^{2}}{64\times 3{,}39\times10^{6}} \approx 0{,}13786\\ \mathrm{Pa\cdot m^{6}/mol^{2}}.
Significado: a tem unidades que, na prática, entram como uma pressão efetiva adicional \propto 1/V_m^2 para representar forças de atração entre moléculas.

Passo 7

Calcular agora os termos da equação de estado e a pressão final:
Primeiro calcule R\,T:
R\,T = 8{,}314462618\times 175{,}00 \approx 1{,}455{,}030958\\ \mathrm{J/mol}.
Calcule V_m-b:
V_m-b \approx 1{,}0505025\times10^{-4} - 3{,}869\times10^{-5} = 6{,}635525\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.
Termo ideal corrigido:
\frac{R\,T}{V_m-b} \approx \frac{1{,}455{,}030958}{6{,}635525\times10^{-5}} \approx 2{,}1926407\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Termo de atração:
\frac{a}{V_m^{2}} \approx \frac{0{,}13786}{(1{,}0505025\times10^{-4})^{2}} \approx 1{,}24975\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Subtraindo os dois termos pela fórmula de van der Waals:
P=\frac{R\,T}{V_m-b}-\frac{a}{V_m^{2}} \approx 2{,}1926407\times10^{7}-1{,}24975\times10^{7} \approx 9{,}428907\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida:
  • O valor calculado é \,P\approx 9{,}43\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, ou seja cerca de \,9{,}43\\ \mathrm{MPa} (aprox. 94{,}3\\ \mathrm{bar}).
  • Faz sentido fisicamente: o volume molar dado é bem pequeno (gás bastante comprimido) e a temperatura é baixa, então a pressão resultante é alta; a correção de van der Waals reduz a pressão em relação ao termo ideal bruto, pelo segundo termo \dfrac{a}{V_m^2}.

Resposta

P = 9{,}43\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}
P = 9{,}43\\ \mathrm{MPa}

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