O gás nitrogênio \left(\mathrm{N}_{2}\right) em um conjunto cilindro-pistão sofre uma compressão de p_{1}=20 bar, V_{1}=0,5 \mathrm{~m}^{3}, até um estado em que V_{2}=2,75 \mathrm{~m}^{3}. A relação entre a pressão e o volume durante o processo é p V^{1,35}= constante. Para o \mathrm{N}_{2}, determine a pressão no estado 2, em bar.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão inicial: p_{1}=20\\ \text{bar}.
    • Volume inicial: V_{1}=0,5\\ \text{m}^{3}.
    • Volume final: V_{2}=2,75\\ \text{m}^{3}.
    • A relação durante o processo: p\,V^{1,35}= constante (ou seja, n=1{,}35).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a pressão no estado 2, p_{2}, em bar.

Passo 2

Entender a lei do processo e a igualdade que ela impõe entre os estados 1 e 2.
Quando um processo é politrópico com expoente n (aqui n=1{,}35), vale a relação
p\,V^{n}=\text{constante}.
Isso significa que para dois estados quaisquer do processo temos
p_{1}V_{1}^{n}=p_{2}V_{2}^{n}.
Nesta fórmula:
  • p_{1} e p_{2} são as pressões nos estados 1 e 2 (mesma unidade),
  • V_{1} e V_{2} são os volumes nos estados 1 e 2 (mesma unidade),
  • n é o expoente politrópico (aqui 1{,}35).
Observação prática: como queremos p_{2} em bar e p_{1} está em bar, podemos manter as pressões em bar (não é preciso converter para Pa), desde que a unidade de p_{1} e p_{2} seja a mesma.

Passo 3

Isolar p_{2} da igualdade p_{1}V_{1}^{n}=p_{2}V_{2}^{n}.
A partir de
p_{1}V_{1}^{n}=p_{2}V_{2}^{n},
isolamos p_{2}:
p_{2}=p_{1}\,\frac{V_{1}^{n}}{V_{2}^{n}}=p_{1}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{n}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos conhecidos na expressão.
Temos p_{1}=20\\ \text{bar}, V_{1}=0{,}5\\ \text{m}^{3}, V_{2}=2{,}75\\ \text{m}^{3} e n=1{,}35. Então
p_{2}=20\left(\frac{0{,}5}{2{,}75}\right)^{1{,}35}\\ \text{bar}.

Passo 5

Simplificar a fração \dfrac{V_{1}}{V_{2}}.
Calcular
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{0{,}5}{2{,}75}.
Observação conveniente: \dfrac{0{,}5}{2{,}75}=\dfrac{1/2}{11/4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{11}=\dfrac{2}{11}.
Portanto
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{2}{11}\approx0{,}181818\ldots

Passo 6

Calcular \left(\dfrac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{n}=\left(\dfrac{2}{11}\right)^{1{,}35} usando logaritmos (método prático).
Para potências com expoentes não inteiros, é prático usar logaritmos naturais:
\left(\frac{2}{11}\right)^{1{,}35}=\exp\!\Big(1{,}35\cdot\ln\!\big(\tfrac{2}{11}\big)\Big).
Calcular \ln\!\big(\tfrac{2}{11}\big):
\ln\!\big(\tfrac{2}{11}\big)=\ln 2-\ln 11.
Usando valores numéricos conhecidos:
\ln 2\approx0{,}693147,\qquad \ln 11\approx2{,}397895,
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\ln\!\big(\tfrac{2}{11}\big)\approx0{,}693147-2{,}397895=-1{,}704748.
Multiplicando pelo expoente 1{,}35:
1{,}35\cdot(-1{,}704748)=-2{,}3014118\\ (\text{aprox.}).
Agora exponenciando:
\exp(-2{,}3014118)\approx0{,}10011.
Portanto
\left(\frac{2}{11}\right)^{1{,}35}\approx0{,}10011.

Passo 7

Calcular p_{2} e arredondar de forma razoável.
Substituindo na expressão de p_{2}:
p_{2}=20\times0{,}10011\\ \text{bar}\approx2{,}0022\\ \text{bar}.
Arredondando com duas casas significativas coerentes com os dados iniciais (pressão dada como 20 bar, dois algarismos), podemos escrever
p_{2}\approx2{,}00\\ \text{bar}.

Resposta

2{,}00\\ \text{bar}

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