2.27 O gás dióxido de carbono (
) armazenado em um sistema pistão-cilindro, é submetido a um processo do estado
até o estado
. A relação entre a pressão e volume durante o processo é dada por
, na qual
é dado em
e
em lbf/
. Determine o trabalho durante o processo, em Btu.
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados:
-
(equivalente a ), . -
(equivalente a ), . - A relação durante o processo:
, com em e em .
-
- O que se pede:
- Determinar o trabalho durante o processo, em
.
- Determinar o trabalho durante o processo, em
Passo 2
Entender a fórmula física do trabalho para um processo pistão-cilindro e a convenção de sinal.
- Para um processo quasiestático, o trabalho realizado pelo sistema (trabalho de expansão) é
onde
é a pressão instantânea (função de
) e
é o volume. Aqui
terá unidades resultantes de
.
- Observação de sinais: se
diminui ( ), a integral tipicamente dá . Pelo uso comum, negativo significa que o sistema recebeu trabalho (o trabalho foi feito sobre o sistema).
Passo 3
Substituir a função
na integral e preparar a integração, cuidando das unidades.
- A pressão dada é
com em (psi) e em . - Vamos calcular primeiro a integral mantendo a unidade mista
e, depois, converter para (unidade de trabalho) e finalmente para . - O trabalho (na forma simbólica) será
com
e
.
Passo 4
Calcular a integral indefinida e avaliar entre os limites.
- Antiderivada de
em relação a é
- Avaliando de
até :
Passo 5
Fazer as contas numéricas (passo a passo) da avaliação da integral.
- Valor em
:
- Valor em
:
- Diferença (final menos inicial):
Logo, a integral deu
na unidade
(isto é,
).
Passo 6
Converter
para
(unidade de trabalho).
- Lembrar que
, porque . - Multiplicando por
transformamos em .
Passo 7
Converter o resultado para
e interpretar o sinal.
- Fator de conversão:
. - Portanto
- Interpretação do sinal: o trabalho calculado
segue a convenção “trabalho realizado pelo sistema”. Aqui significa que o sistema recebeu trabalho; isto é, aproximadamente foram feitos sobre o gás (compressão líquida).
Passo 8
Arredondamento final e apresentação do valor com precisão razoável para provas.
- Arredondando para três algarismos significativos: