2.27 O gás dióxido de carbono ( \mathrm{CO}_{2} ) armazenado em um sistema pistão-cilindro, é submetido a um processo do estado p_{1}=5 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}(34,47 \mathrm{kPa}), V_{1}=2,5 \mathrm{ft}^{3}(70,8 \mathrm{~L}) até o estado p_{2}=20 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}(137,9 \mathrm{kPa}), V_{2}=0,5 \mathrm{ft}^{3}(14,16 \mathrm{~L}). A relação entre a pressão e volume durante o processo é dada por p=23,75-7,5 V, na qual V é dado em \mathrm{ft}^{3} e p em lbf/ \mathrm{in}^{2}. Determine o trabalho durante o processo, em Btu.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados:
    • p_{1}=5\\ \mathrm{lbf/in^{2}} (equivalente a 34,47\\ \mathrm{kPa}), V_{1}=2,5\\ \mathrm{ft^{3}}.
    • p_{2}=20\\ \mathrm{lbf/in^{2}} (equivalente a 137,9\\ \mathrm{kPa}), V_{2}=0,5\\ \mathrm{ft^{3}}.
    • A relação durante o processo: p(V)=23,75-7,5\,V, com V em \mathrm{ft^{3}} e p em \mathrm{lbf/in^{2}}.
  • O que se pede:
    • Determinar o trabalho durante o processo, em \mathrm{Btu}.

Passo 2

Entender a fórmula física do trabalho para um processo pistão-cilindro e a convenção de sinal.
  • Para um processo quasiestático, o trabalho realizado pelo sistema (trabalho de expansão) é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,dV,
onde p é a pressão instantânea (função de V) e V é o volume. Aqui W terá unidades resultantes de p\cdot V.
  • Observação de sinais: se V diminui ( V_{2}<V_{1}), a integral tipicamente dá W<0. Pelo uso comum, W negativo significa que o sistema recebeu trabalho (o trabalho foi feito sobre o sistema).

Passo 3

Substituir a função p(V) na integral e preparar a integração, cuidando das unidades.
  • A pressão dada é p(V)=23,75-7,5\,V com p em \mathrm{lbf/in^{2}} (psi) e V em \mathrm{ft^{3}}.
  • Vamos calcular primeiro a integral mantendo a unidade mista \mathrm{(lbf/in^{2})\cdot ft^{3}} e, depois, converter para \mathrm{ft\cdot lbf} (unidade de trabalho) e finalmente para \mathrm{Btu}.
  • O trabalho (na forma simbólica) será
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}\bigl(23,75-7,5\,V\bigr)\,dV,
com V_{1}=2,5\\ \mathrm{ft^{3}} e V_{2}=0,5\\ \mathrm{ft^{3}}.

Passo 4

Calcular a integral indefinida e avaliar entre os limites.
  • Antiderivada de 23,75-7,5V em relação a V é
\int\bigl(23,75-7,5V\bigr)\,dV = 23,75\,V - \tfrac{7,5}{2}\,V^{2} = 23,75\,V - 3,75\,V^{2}.
  • Avaliando de V_{1}=2,5 até V_{2}=0,5:
W_{\text{(psi}\cdot\mathrm{ft^{3}})} = \Bigl[23,75\,V - 3,75\,V^{2}\Bigr]_{2,5}^{0,5}.

Passo 5

Fazer as contas numéricas (passo a passo) da avaliação da integral.
  • Valor em V=0,5:
23,75\cdot 0,5 - 3,75\cdot(0,5)^{2} = 11,875 - 0,9375 = 10,9375.
  • Valor em V=2,5:
23,75\cdot 2,5 - 3,75\cdot(2,5)^{2} = 59,375 - 23,4375 = 35,9375.
  • Diferença (final menos inicial):
W_{\text{(psi}\cdot\mathrm{ft^{3}})} = 10,9375 - 35,9375 = -25,0.
Logo, a integral deu -25,0 na unidade \mathrm{lbf/in^{2}\cdot ft^{3}} (isto é, \mathrm{psi\cdot ft^{3}}).

Passo 6

Converter \mathrm{psi\cdot ft^{3}} para \mathrm{ft\cdot lbf} (unidade de trabalho).
  • Lembrar que 1\\ \mathrm{lbf/in^{2}} = 144\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}, porque 1\\ \mathrm{ft^{2}}=144\\ \mathrm{in^{2}}.
  • Multiplicando por 144 transformamos \mathrm{psi\cdot ft^{3}} em \mathrm{lbf/ft^{2}\cdot ft^{3}}=\mathrm{ft\cdot lbf}.
W_{\mathrm{(ft\cdot lbf)}} = -25,0 \times 144 = -3600\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.

Passo 7

Converter o resultado para \mathrm{Btu} e interpretar o sinal.
  • Fator de conversão: 1\\ \mathrm{Btu} = 778,169\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.
  • Portanto
W_{\mathrm{(Btu)}} = \frac{-3600\\ \mathrm{ft\cdot lbf}}{778,169\\ \mathrm{ft\cdot lbf/Btu}} = -4,6262446\\ \mathrm{Btu}\\ (\text{aprox.}).
  • Interpretação do sinal: o trabalho calculado W segue a convenção “trabalho realizado pelo sistema”. Aqui W<0 significa que o sistema recebeu trabalho; isto é, aproximadamente 4,626\\ \mathrm{Btu} foram feitos sobre o gás (compressão líquida).

Passo 8

Arredondamento final e apresentação do valor com precisão razoável para provas.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
W \approx -4,63\\ \mathrm{Btu}.

Resposta

-4,63\\ \mathrm{Btu}

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