O gestor de uma grande empresa não consegue decidir qual o combustível utilizar. O combustível selecionado deve ser utilizado em um motor operando entre as temperaturas de combustão e de exaustão dos gases. O combustível A queima a 2200 K , liberando 30 \mathrm{MJ} / \mathrm{kg}, custa US$ 1,50 / \mathrm{kg}e, ao ser utilizado no motor, produz os gases a 450 K. Já o combustível B apresenta temperatura de combustão igual a 1200 K , proporciona 40 \mathrm{MJ} / \mathrm{kg}, custa US$ 1,30 / \mathrm{kg} e, ao ser utilizado no motor, produz gases a 350 K . Qual dos dois combustíveis você compraria? Por quê? (A: 15,9 \mathrm{MJ} / \mathrm{US} \ \mathrm{~B}: 21,8 \mathrm{MJ} / \mathrm{US} $$ )

Passo 1

O enunciado pede que você decida qual combustível comprar, comparando-os pelo benefício econômico associado à energia útil que cada um pode fornecer ao motor. Dados fornecidos (peguei exatamente do enunciado):
  • Combustível A:
    • Temperatura de combustão (reservatório quente): \;T_{H,A}=2200\\ \mathrm{K}.
    • Energia liberada por kg (poder calorífico): \;q_A=30\\ \mathrm{MJ/kg}.
    • Preço: \;p_A=\$1{,}50/\mathrm{kg}.
    • Temperatura dos gases de exaustão (reservatório frio): \;T_{C,A}=450\\ \mathrm{K}.
  • Combustível B:
    • Temperatura de combustão: \;T_{H,B}=1200\\ \mathrm{K}.
    • Energia liberada por kg: \;q_B=40\\ \mathrm{MJ/kg}.
    • Preço: \;p_B=\$1{,}30/\mathrm{kg}.
    • Temperatura dos gases de exaustão: \;T_{C,B}=350\\ \mathrm{K}.
Pergunta explícita: qual dos dois combustíveis devo comprar e por quê? (No enunciado há já os números finais sugeridos: A: \;15{,}9\\ \mathrm{MJ/US\$}; B: \;21{,}8\\ \mathrm{MJ/US\$}.)

Passo 2

Entendendo o que vamos calcular (a ideia física): o motor opera entre uma fonte quente (combustão) e uma fonte fria (exaustão). A máxima fração de energia térmica que pode, em princípio, ser convertida em trabalho mecânico por um motor térmico ideal é a eficiência de Carnot:
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}.
Aqui:
  • \eta é a eficiência máxima (adimensional; fração entre 0 e 1).
  • \;T_H é a temperatura do reservatório quente em kelvin.
  • \;T_C é a temperatura do reservatório frio em kelvin.
A razão desta fórmula (explicação curta e intuitiva): quanto maior a diferença entre \;T_H e \;T_C, maior a fração da energia térmica que pode virar trabalho. A fórmula vem da termodinâmica (processos reversíveis) e nos dá um limite superior — motores reais terão eficiência menor, mas usar esse limite é apropriado para comparar combustíveis sob as mesmas hipóteses.

Passo 3

Como vamos comparar economicamente, calculamos primeiro a energia útil máxima (trabalho máximo) disponível por kg de combustível:
W_{\max} = q \cdot \eta = q \left(1 - \frac{T_C}{T_H}\right),
onde \;q é o poder calorífico em \mathrm{MJ/kg}. Depois calculamos a energia útil por dólar:
\frac{W_{\max}}{\$} = \frac{W_{\max}\\ (\mathrm{MJ/kg})}{p\\ (\$/\mathrm{kg})}.
Isso dá \mathrm{MJ} de trabalho disponíveis por \$ gasto.
Vou aplicar essas fórmulas aos dois combustíveis, explicando cada passo de contas para você conseguir reproduzir sem calculadora.

Passo 4

Cálculo para o combustível A:
  1. Eficiência de Carnot:
\eta_A = 1 - \frac{T_{C,A}}{T_{H,A}} = 1 - \frac{450}{2200}.
Simplificando a fração: \frac{450}{2200}=\frac{45}{220}=\frac{9}{44}. Então
\eta_A = 1 - \frac{9}{44} = \frac{44-9}{44} = \frac{35}{44}.
  1. Trabalho máximo por kg:
W_{A} = q_A \cdot \eta_A = 30\cdot \frac{35}{44} = \frac{30\cdot 35}{44} = \frac{1050}{44}.
Podemos simplificar: \frac{1050}{44}=\frac{525}{22}. Em valor decimal isso é
W_{A} \approx 23{,}863636\\ \mathrm{MJ/kg}.
  1. Energia útil por dólar:
\frac{W_A}{\$} = \frac{W_A}{p_A} = \frac{\tfrac{525}{22}}{1{,}50} = \frac{525}{22}\cdot\frac{1}{1{,}5}.
Transformando \tfrac{1}{1{,}5}=\tfrac{2}{3} temos
\frac{W_A}{\$} = \frac{525}{22}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1050}{66} = \frac{175}{11} \approx 15{,}90909\\ \mathrm{MJ/US\$}.
Arredondando: \;15{,}9\\ \mathrm{MJ/US\$} (confere com o valor dado no enunciado).

Passo 5

Cálculo para o combustível B:
  1. Eficiência de Carnot:
\eta_B = 1 - \frac{T_{C,B}}{T_{H,B}} = 1 - \frac{350}{1200}.
Simplificando: \frac{350}{1200}=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}. Então
\eta_B = 1 - \frac{7}{24} = \frac{24-7}{24} = \frac{17}{24}.
  1. Trabalho máximo por kg:
W_{B} = q_B \cdot \eta_B = 40\cdot \frac{17}{24} = \frac{680}{24} = \frac{85}{3}.
Em decimal:
W_{B} \approx 28{,}333333\\ \mathrm{MJ/kg}.
  1. Energia útil por dólar:
\frac{W_B}{\$} = \frac{\tfrac{85}{3}}{1{,}30} = \frac{85}{3}\cdot\frac{1}{1{,}3}.
Como \tfrac{1}{1{,}3}=\tfrac{10}{13}, temos
\frac{W_B}{\$} = \frac{85}{3}\cdot\frac{10}{13} = \frac{850}{39} \approx 21{,}79487\\ \mathrm{MJ/US\$}.
Arredondando: \;21{,}8\\ \mathrm{MJ/US\$} (também confere com o valor do enunciado).

Passo 6

Comparação e interpretação:
  • Combustível A: \;15{,}9\\ \mathrm{MJ/US\$}.
  • Combustível B: \;21{,}8\\ \mathrm{MJ/US\$}.
O combustível B fornece mais energia útil (trabalho máximo teórico) por dólar gasto. Logo, do ponto de vista econômico associado à energia útil gerada pelo motor, B é a melhor escolha.
Observação didática e realista: usamos a eficiência de Carnot, que é um limite ideal (motor reversível). Motores reais têm perdas e eficiências menores; porém, se as duas opções forem usadas no mesmo tipo de motor e sofrerem perdas semelhantes, a comparação relativa (qual dá mais MJ por dólar) tende a permanecer a mesma. Se houvesse diferenças tecnológicas que afetassem muito a eficiência prática com cada combustível, seria preciso incluir esses fatores; mas com os dados dados, a comparação correta é a que fiz acima.

Resposta

Comprar o combustível B, pois \;21{,}8\\ \mathrm{MJ/US\$} > 15{,}9\\ \mathrm{MJ/US\$}.

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