O gestor de uma grande empresa não consegue decidir qual o combustível utilizar. O combustível selecionado deve ser utilizado em um motor operando entre as temperaturas de combustão e de exaustão dos gases. O combustível
queima a 2200 K , liberando 30
, custa US$
e, ao ser utilizado no motor, produz os gases a 450 K. Já o combustível B apresenta temperatura de combustão igual a 1200 K , proporciona
, custa US$
e, ao ser utilizado no motor, produz gases a 350 K . Qual dos dois combustíveis você compraria? Por quê? (A:
\mathrm{~B}: 21,8 \mathrm{MJ} / \mathrm{US} $$ )
Passo 1
O enunciado pede que você decida qual combustível comprar, comparando-os pelo benefício econômico associado à energia útil que cada um pode fornecer ao motor. Dados fornecidos (peguei exatamente do enunciado):
-
Combustível A:
- Temperatura de combustão (reservatório quente):
. - Energia liberada por kg (poder calorífico):
. - Preço:
. - Temperatura dos gases de exaustão (reservatório frio):
.
- Temperatura de combustão (reservatório quente):
-
Combustível B:
- Temperatura de combustão:
. - Energia liberada por kg:
. - Preço:
. - Temperatura dos gases de exaustão:
.
- Temperatura de combustão:
Pergunta explícita: qual dos dois combustíveis devo comprar e por quê? (No enunciado há já os números finais sugeridos: A:
; B:
.)
Passo 2
Entendendo o que vamos calcular (a ideia física): o motor opera entre uma fonte quente (combustão) e uma fonte fria (exaustão). A máxima fração de energia térmica que pode, em princípio, ser convertida em trabalho mecânico por um motor térmico ideal é a eficiência de Carnot:
Aqui:
-
é a eficiência máxima (adimensional; fração entre 0 e 1). -
é a temperatura do reservatório quente em kelvin. -
é a temperatura do reservatório frio em kelvin.
A razão desta fórmula (explicação curta e intuitiva): quanto maior a diferença entre
e
, maior a fração da energia térmica que pode virar trabalho. A fórmula vem da termodinâmica (processos reversíveis) e nos dá um limite superior — motores reais terão eficiência menor, mas usar esse limite é apropriado para comparar combustíveis sob as mesmas hipóteses.
Passo 3
Como vamos comparar economicamente, calculamos primeiro a energia útil máxima (trabalho máximo) disponível por kg de combustível:
onde
é o poder calorífico em
. Depois calculamos a energia útil por dólar:
Isso dá
de trabalho disponíveis por
gasto.
Vou aplicar essas fórmulas aos dois combustíveis, explicando cada passo de contas para você conseguir reproduzir sem calculadora.
Passo 4
Cálculo para o combustível A:
- Eficiência de Carnot:
Simplificando a fração:
. Então
- Trabalho máximo por kg:
Podemos simplificar:
. Em valor decimal isso é
- Energia útil por dólar:
Transformando
temos
Arredondando:
(confere com o valor dado no enunciado).
Passo 5
Cálculo para o combustível B:
- Eficiência de Carnot:
Simplificando:
. Então
- Trabalho máximo por kg:
Em decimal:
- Energia útil por dólar:
Como
, temos
Arredondando:
(também confere com o valor do enunciado).
Passo 6
Comparação e interpretação:
- Combustível A:
. - Combustível B:
.
O combustível B fornece mais energia útil (trabalho máximo teórico) por dólar gasto. Logo, do ponto de vista econômico associado à energia útil gerada pelo motor, B é a melhor escolha.
Observação didática e realista: usamos a eficiência de Carnot, que é um limite ideal (motor reversível). Motores reais têm perdas e eficiências menores; porém, se as duas opções forem usadas no mesmo tipo de motor e sofrerem perdas semelhantes, a comparação relativa (qual dá mais MJ por dólar) tende a permanecer a mesma. Se houvesse diferenças tecnológicas que afetassem muito a eficiência prática com cada combustível, seria preciso incluir esses fatores; mas com os dados dados, a comparação correta é a que fiz acima.
Resposta
Comprar o combustível B, pois
.