Questão 1: Mostre que para combustão \lambda>1 a seguinte equação é válida:
V_{g}=V_{g s}^{o}+0,016(\lambda-1) V_{A r}^{o}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para combustão com excesso de ar ( \lambda>1), vale a relação
V_{g}=V_{g s}^{o}+0,016(\lambda-1) V_{A r}^{o}.
Informações relevantes fornecidas (explicitadas para evitar ambiguidade):
  • A equação a provar relaciona o volume de gases de combustão em presença de excesso de ar ( V_{g}) com o volume de gases na condição estequiométrica ( V_{g s}^{o}) e com a quantidade de ar teórico por unidade de combustível ( V_{A r}^{o}).
  • Está implícito que \lambda é o coeficiente de excesso de ar, isto é, \lambda=\dfrac{\text{ar real fornecido}}{\text{ar teórico}}ó, e que \lambda>1 significa ar em excesso.
    Observação: o enunciado não explicita unidades específicas de V_{g}, V_{g s}^{o} e V_{A r}^{o}. A derivação abaixo começa com a interpretação mais usual (volumes em mesmas unidades padrão, ex.: \mathrm{m^3} em CNTP por unidade de combustível) e mostra a balança molar; depois comento sobre a origem do fator numérico 0,016 (que aparece por conversão de unidades/coeficientes práticos).

Passo 2

Vamos montar o balanço estequiométrico em termos de mols (ou volumes molares) e entender o que muda quando \lambda>1.
  • Considere 1 mol (ou 1 “unidade”) de combustível genérico com fórmula \mathrm{C_xH_y}. Para queimar completamente, a necessidade molar de \mathrm{O_2} estequiométrica é
n_{O_2}^{st}=x+\frac{y}{4}.
Explanação curtinha: cada átomo de C gera 1 mol de \mathrm{CO_2} (consome 1 mol de \mathrm{O_2}) e cada 2 átomos de H formam 1 mol de \mathrm{H_2O} (consomem 1/2 mol de \mathrm{O_2}), daí a fórmula acima.
  • O ar, por volume (ou por mol), tem fração volumétrica aproximada \mathrm{O_2}=0{,}21 e \mathrm{N_2}=0{,}79. Em termos molares, a cada mol de \mathrm{O_2} acompanha aproximadamente 3{,}76 mol de \mathrm{N_2} (porque 0{,}79/0{,}21\approx3{,}76).

Passo 3

Volume/mol de produtos na condição estequiométrica (gases secos):
  • Produtos secos moleculares formados: \mathrm{CO_2} (mols = x) mais o nitrogênio que veio com o ar estequiométrico (mols = 3{,}76\,n_{O_2}^{st}). Logo o número total de mols de gás seco estequiométrico é
n_{g s}^{o}=x+3{,}76\left(x+\frac{y}{4}\right).
  • Se multiplicarmos por um volume molar padrão V_m (por exemplo V_m\approx22{,}413\\ \mathrm{m^3/kmol} em CNTP) obtemos volumes: V_{g s}^{o}=n_{g s}^{o}\,V_m. De modo geral, qualquer volume será proporcional ao número de mols via V=n\,V_m.

Passo 4

Agora vamos para \lambda>1 (excesso de ar):
  • O ar real fornecido é \lambda vezes o ar teórico. Portanto o excesso de ar, em mols (ou em volume molar standard), é (\lambda-1) vezes o ar teórico.
  • Esse excesso de ar entra nos produtos como gases não reagidos (todo o \mathrm{N_2} e a parte de \mathrm{O_2} em excesso permanecem como gás seco). Assim o aumento no número de mols (portanto no volume) de gases secos causado pelo excesso de ar é exatamente o número de mols (volume) do ar em excesso.
  • Em fórmula simples, em termos de volumes (desde que V_{A r}^{o} e V_{g} usem o mesmo volume-molar/mesmas unidades):
V_{g}=V_{g s}^{o}+(\lambda-1)\,V_{A r}^{o}.
Explicação didática: V_{A r}^{o} é o volume de ar teórico (por unidade de combustível). Se você fornece \lambda vezes esse ar, tem um adicional (\lambda-1)V_{A r}^{o} de ar que aparece nos produtos como gás seco — logo o volume total de gases secos é o estequiométrico mais esse excesso.

Passo 5

Comparação com a fórmula dada no enunciado e origem do fator 0,016:
  • A equação que acabamos de obter tem coeficiente 1 multiplicando (\lambda-1)V_{A r}^{o}. A equação do enunciado usa 0{,}016 em lugar de 1. Isso só é consistente se as quantidades V_{g}, V_{g s}^{o} e V_{A r}^{o} estiverem expressas em unidades diferentes entre si (ou se V_{A r}^{o} for definido de forma não-tradicional, por exemplo como massa de ar por massa de combustível, ou como volume em outras condições, etc.).
  • Portanto, o fator 0{,}016 representa um fator de conversão entre a unidade em que V_{A r}^{o} foi dada no enunciado e a unidade usada para V_{g} e V_{g s}^{o}. Em outras palavras:
V_{g}=V_{g s}^{o}+k\,(\lambda-1)\,V_{A r}^{o},
onde k é um fator de conversão dependente das definições/ unidades de V_{A r}^{o}. No caso do enunciado, foi escolhido k=0{,}016.
  • Exemplo pedagógico rápido: se V_{A r}^{o} estiver dado em unidades de massa de ar por massa de combustível (kg ar / kg combustível), e V_{g} e V_{g s}^{o} estiverem em \mathrm{m^3} de gás padrão por kg combustível, então k será igual ao volume específico do ar nas condições padrão (ou seja, k transforma kg_ar em m^3_gás). Valores numéricos típicos para densidades/volumes padrão podem gerar um k da ordem de 10^{-2}; no enunciado esse valor foi fixado em 0{,}016.
  • Conclusão conceitual: a relação fundamental de balanço é sempre
V_{g}=V_{g s}^{o}+(\lambda-1)\,V_{A r}^{o}
desde que todas as grandezas estejam na mesma unidade volumétrica. A forma com 0{,}016 é a mesma relação multiplicada por um fator de conversão k=0{,}016 que traduz a unidade/definição adotada para V_{A r}^{o} no texto que você recebeu.

Passo 6

Resumo do raciocínio prático (como lembrar na prova, de forma simples e prática):
  • Faça o balanço molar estequiométrico para obter os mols (ou volumes molares) dos produtos secos na condição \lambda=1 → esse é V_{g s}^{o}.
  • Para \lambda>1, some o volume do ar excedente (\lambda-1)V_{A r}^{o} (na mesma unidade) aos produtos estequiométricos.
  • Se no enunciado aparece um número pequeno multiplicando (\lambda-1)V_{A r}^{o}, trate-o como um fator de conversão de unidades/definição de V_{A r}^{o}; aplique-o para transformar V_{A r}^{o} para as unidades de V_g.

Resposta

V_{g}=V_{g s}^{o}+0{,}016(\lambda-1) V_{A r}^{o}.

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