Em uma indústria química, deseja-se destilar uma mistura líquida saturada, com a composição da Tabela 2, utilizando uma grande coluna de destilação sob pressão atmosférica. A condição estimada para a região do prato de alimentação é de 150{ }^{\circ} \mathrm{C} e 18 psia (mesma condição utilizada no cálculo das volatilidades da Tabela 2). Foram especificadas as seguintes recuperações (%) no destilado: 99 \% do componente C ; \mathbf{e} \mathbf{3 , 8 \%} do componente D.
Table 1: Tabela 2 - Composição de alimentação e volatilidades
\captionsetup{labelformat=empty}
Component
e
Fraçào
molar
Volatilidade
relativa \left(\alpha_{\mathrm{i}}\right)
A 0,054 1.23
B 0,221 1.15
C 0,488 1,13
D 0,212 1,00
E 0,025 0,70
a) Estime o número minimo de pratos ( 2,0 pontos).
b) Avalie a distribuição dos componentes năo chaves entre topo e fundo da coluna, (2,0 pontos).
c) Estime a Razão de refluxo minima \left(\mathbf{R}_{\text {mm }}\right)(2,0 pontos ).

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) estimar o número mínimo de pratos (teóricos) da coluna, (b) avaliar como os componentes não-chaves se distribuem entre topo (destilado) e fundo, e (c) estimar a razão de refluxo mínima \left(R_{\text{mm}}\right). As informações relevantes dadas são:
\begin{array}{lcl} \text{Composição molar da alimentação }(z_i): & & \\\ z_A=0{,}054,\; z_B=0{,}221,\; z_C=0{,}488,\; z_D=0{,}212,\; z_E=0{,}025, \end{array}çãçã
e as volatilidades relativas (tomadas em relação a D, que tem \alpha_D=1{,}00):
\alpha_A=1{,}23,\; \alpha_B=1{,}15,\; \alpha_C=1{,}13,\; \alpha_D=1{,}00,\; \alpha_E=0{,}70.
Foram especificadas recuperações no destilado:
\text{C: }99\%\quad\text{e}\quad \text{D: }3{,}8\%.
Condição da alimentação: líquido saturado (portanto q=1).
Observação importante (que usarei para avançar): o enunciado dá recuperações apenas para C e D. Vou adotar a aproximação clássica para cálculo de projeto escolar: componentes mais voláteis que a chave leve (aqui C) são considerados totalmente recolhidos no topo; componentes menos voláteis que a chave pesada (aqui D) são considerados totalmente no fundo. Essa hipótese é comum para estimativas iniciais e é consistente com os dados fornecidos. Não uso nenhuma informação gráfica adicional.

Passo 2

Identificar as chaves (light key e heavy key) e justificar a aproximação sobre não-chaves.
  • A volatilidade relativa maior significa componente mais volátil (vai preferencialmente ao topo). Comparando as \alpha_i: \alpha_C=1{,}13 > \alpha_D=1{,}00. Logo:
    • Chave leve (LK) = C.
    • Chave pesada (HK) = D.
  • Componentes com \alpha>\alpha_{LK} (mais voláteis que C) são A e B. Vou assumir que A e B vão totalmente para o destilado (recuperação \approx100\%).
  • Componentes com \alpha<\alpha_{HK} (menos voláteis que D) é E. Vou assumir que E vai totalmente para o fundo (recuperação no topo \approx0\%).
  • Essas hipóteses permitem calcular composição do destilado e dos fundos a partir das recuperações dadas para C e D.

Passo 3

Calcular as quantidades no destilado e nos fundos, tomando F=1 mol de alimentação para facilitar (tudo em base molar).
Recuperações assumidas:
\begin{array}{l} A:\;100\%,\quad B:\;100\%,\quad C:\;99\% (=0{,}99),\\\ D:\;3{,}8\% (=0{,}038),\quad E:\;0\%. \end{array}
Moles no destilado (base F=1):
\begin{array}{l} A_D = 1\cdot z_A \cdot 1 = 0{,}054,\\\ B_D = 1\cdot z_B \cdot 1 = 0{,}221,\\\ C_D = 1\cdot z_C \cdot 0{,}99 = 0{,}99\cdot 0{,}488 = 0{,}48312,\\\ D_D = 1\cdot z_D \cdot 0{,}038 = 0{,}038\cdot 0{,}212 = 0{,}008056,\\\ E_D = 0. \end{array}
Total do destilado:
D_{\text{tot}} = 0{,}054 + 0{,}221 + 0{,}48312 + 0{,}008056 = 0{,}766176.
Composições molares do destilado ( x_{D,i}):
\begin{array}{l} x_{D,A}=\dfrac{0{,}054}{0{,}766176}=0{,}0705,\\[6pt] x_{D,B}=\dfrac{0{,}221}{0{,}766176}=0{,}2884,\\[6pt] x_{D,C}=\dfrac{0{,}48312}{0{,}766176}=0{,}6305,\\[6pt] x_{D,D}=\dfrac{0{,}008056}{0{,}766176}=0{,}0105,\\[6pt] x_{D,E}=0. \end{array}
Agora os fundos (bottoms) por diferença:
\begin{array}{l} A_B=0{,}054-0{,}054=0,\\\ B_B=0{,}221-0{,}221=0,\\\ C_B=0{,}488-0{,}48312=0{,}00488,\\\ D_B=0{,}212-0{,}008056=0{,}203944,\\\ E_B=0{,}025-0=0{,}025. \end{array}
Total dos fundos:
B_{\text{tot}} = 0{,}00488 + 0{,}203944 + 0{,}025 = 0{,}233824.
Composição molar dos fundos em C (a chave leve nos fundos):
x_{B,C}=\dfrac{0{,}00488}{0{,}233824}=0{,}02087.
Esses x_{D,C} e x_{B,C} serão usados na equação de Fenske.]

Passo 4

Calcular o número mínimo de pratos teóricos pelo critério de Fenske (condição de refluxo infinito, ou seja, número mínimo de pratos para obter a separação desejada).
Fórmula de Fenske (para chaves LK e HK, usando volatilidade relativa \alpha_{LK/HK}):
\displaystyle N_{\min}=\frac{\ln\!\bigg(\dfrac{x_{D,\text{LK}}/(1-x_{D,\text{LK}})}{x_{B,\text{LK}}/(1-x_{B,\text{LK}})}\bigg)}{\ln\!\big(\alpha_{\text{LK/HK}}\big)}.
Aqui:
x_{D,\text{LK}}=x_{D,C}=0{,}6305,\qquad x_{B,\text{LK}}=x_{B,C}=0{,}02087,
e
\alpha_{\text{LK/HK}}=\dfrac{\alpha_C}{\alpha_D}=\dfrac{1{,}13}{1{,}00}=1{,}13.
Calculemos as razões:
\frac{x_{D,\text{LK}}}{1-x_{D,\text{LK}}}=\frac{0{,}6305}{0{,}3695}=1{,}706, \qquad \frac{x_{B,\text{LK}}}{1-x_{B,\text{LK}}}=\frac{0{,}02087}{0{,}97913}=0{,}02131.
A razão das razões:
\frac{1{,}706}{0{,}02131}=80{,}04.
Agora:
N_{\min}=\frac{\ln(80{,}04)}{\ln(1{,}13)}=\frac{4{,}382}{0{,}12277}\approx 35{,}69.
Como número de pratos teóricos deve ser inteiro (não se pode ter fração de prato), arredondamos para cima:
N_{\min}\approx 36\\ \text{pratos teóricos}.ó

Passo 5

Avaliar quantitativamente a distribuição dos componentes não-chaves entre topo e fundo (usando as hipóteses do Passo 2 e os cálculos do Passo 3).
  • Componente A ( \alpha_A=1{,}23>\alpha_C): assumido 100\% no destilado. Na nossa base F=1: A_D=0{,}054 (100% de A no topo), A_B=0.
  • Componente B ( \alpha_B=1{,}15>\alpha_C): assumido 100\% no destilado. B_D=0{,}221 (100% de B no topo), B_B=0.
  • Componente E ( \alpha_E=0{,}70<\alpha_D): assumido 100\% nos fundos. E_D=0,\; E_B=0{,}025.
  • As chaves (para referência): C tem 99\% no topo e 1\% nos fundos; D tem 3{,}8\% no topo e 96{,}2\% nos fundos.
Essas porcentagens são exatamente as hipóteses e recuperações usadas para os cálculos: A e B praticamente no topo; E no fundo; C quase todo no topo; D quase todo no fundo.

Passo 6

Estimar a razão de refluxo mínima \left(R_{\text{mm}}\right) usando as equações de Underwood (válidas para mistura multicomponente com volatilidades constantes).
Resumo da ideia:
  • Primeiro se determina uma constante \theta que satisfaz a equação de Underwood (para alimentação saturada líquida q=1 a equação é)
\displaystyle \sum_i \frac{z_i\,\alpha_i}{\alpha_i-\theta}=1,
onde z_i são as frações molares da alimentação e \alpha_i as volatilidades relativas. A solução válida para \theta deve ficar entre \alpha_{HK} e \alpha_{LK} (ou adaptar conforme o caso).
  • Depois R_{\min} é dado por
\displaystyle R_{\min}=\sum_i \frac{x_{D,i}\,\alpha_i}{\alpha_i-\theta}-1,
onde x_{D,i} são as composições molares do destilado (já calculadas no Passo 3).
Agora vamos resolver numericamente \theta.

Passo 7

Resolver a equação de Underwood para \theta.
Equação a resolver:
f(\theta)=\sum_{i\in\{A,B,C,D,E\}}\frac{z_i\,\alpha_i}{\alpha_i-\theta}-1=0.
Dados:
\begin{array}{l} z_A=0{,}054,\;\alpha_A=1{,}23;\\\ z_B=0{,}221,\;\alpha_B=1{,}15;\\\ z_C=0{,}488,\;\alpha_C=1{,}13;\\\ z_D=0{,}212,\;\alpha_D=1{,}00;\\\ z_E=0{,}025,\;\alpha_E=0{,}70. \end{array}
Procuramos \theta entre \alpha_{HK}=1{,}00 e \alpha_{LK}=1{,}13. Avaliando numericamente por tentativa e ajuste (mostro só alguns passos analíticos da iteração):
  • Teste \theta=1{,}03: calcula-se cada termo e obtém-se
\sum \frac{z_i\alpha_i}{\alpha_i-\theta}\approx 0{,}8447\quad\Rightarrow\quad f(1{,}03)\approx -0{,}1553.
  • Teste \theta=1{,}032: obtém-se
\sum \frac{z_i\alpha_i}{\alpha_i-\theta}\approx 1{,}4382\quad\Rightarrow\quad f(1{,}032)\approx +0{,}4382.
Como a função muda de sinal entre 1{,}03 e 1{,}032, faz-se interpolação linear para localizar a raiz com boa precisão:
\theta \approx 1{,}03052.
(Procedimento: interpole entre os dois pontos; a equação é bem condicionada neste intervalo.)

Passo 8

Calcular R_{\min} usando a \theta encontrada.
A fórmula:
R_{\min}=\sum_i \frac{x_{D,i}\,\alpha_i}{\alpha_i-\theta}-1.
Usando as composições do destilado do Passo 3 ( x_{D,A}=0{,}0705,\; x_{D,B}=0{,}2884,\; x_{D,C}=0{,}6305,\; x_{D,D}=0{,}0105,\; x_{D,E}=0) e \theta=1{,}03052, calculamos termo a termo:
  • Para A:
\frac{x_{D,A}\alpha_A}{\alpha_A-\theta}=\frac{0{,}0705\cdot 1{,}23}{1{,}23-1{,}03052}\approx 0{,}4350.
  • Para B:
\frac{0{,}2884\cdot 1{,}15}{1{,}15-1{,}03052}\approx 2{,}776.
  • Para C:
\frac{0{,}6305\cdot 1{,}13}{1{,}13-1{,}03052}\approx 7{,}162.
  • Para D:
\frac{0{,}0105\cdot 1{,}00}{1{,}00-1{,}03052}\approx -0{,}345\\ (\text{observação: termo negativo porque }\alpha_D-\theta<0).çã
  • E não contribui porque x_{D,E}=0.
Somando:
\sum_i \frac{x_{D,i}\alpha_i}{\alpha_i-\theta}\approx 0{,}4350 + 2{,}776 + 7{,}162 - 0{,}345 \approx 10{,}028.
Logo:
R_{\min}=10{,}028 -1 = 9{,}028\approx 9{,}03.
Portanto a razão de refluxo mínima estimada é aproximadamente 9{,}0.

Resposta

(a) N_{\min}\approx 36 pratos teóricos.
(b) Distribuição dos não-chaves (com as hipóteses adotadas): A e B praticamente 100\% no topo (destilado); E praticamente 100\% nos fundos; C tem 99\% no topo e 1\% nos fundos; D tem 3{,}8\% no topo e 96{,}2\% nos fundos.
(c) R_{\text{mm}}\approx 9{,}03.

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