Uma indústria usa vapor a alta pressão em vários dos processos. Para isso ela dispõe de um tanque de armazenamento de vapor de 5 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{O} vapor deve permanecer sempre a 250^{\circ} \mathrm{C}. Considere que em determinado momento 90 \% da massa de água no interior do tanque está no estado líquido e que 50 kg de vapor devem ser usados na indústria. Calcule a massa inicial no interior do tanque, a porcentagem final de vapor no tanque e o calor necessário para manter o conteúdo do tanque a 250^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Volume do tanque: \,V=5\\ \mathrm{m^{3}}\,.
    • Temperatura do conteúdo: \,T=250^\circ\mathrm{C}\, (o vapor e o líquido coexistem à saturação nessa temperatura).
    • Inicialmente, 90\% da massa está líquida e 10\% está vapor (em massa).
    • A indústria vai usar 50\\ \mathrm{kg} de vapor (essa massa de vapor sai do tanque).
  • O que o enunciado pede:
    1. A massa inicial total no interior do tanque.
    2. A porcentagem final de vapor (em massa) no tanque depois do uso de 50\\ \mathrm{kg}.
    3. O calor necessário para manter o conteúdo do tanque a 250^\circ\mathrm{C} durante a retirada (isto é, o calor necessário para evaporar o líquido que repõe o vapor usado).

Passo 2

Para relacionar volume, massas e frações de vapor precisamos de duas propriedades do vapor saturado e do líquido saturado à temperatura de 250^\circ\mathrm{C}:
  • o volume específico do líquido saturado \,v_f (em \mathrm{m^3/kg}),
  • o volume específico do vapor saturado \,v_g (em \mathrm{m^3/kg}),
  • e, para o cálculo do calor, o calor latente de vaporização (entalpia de vaporização) \,h_{fg} (em \mathrm{kJ/kg}).
Como o enunciado não fornece diretamente essas tabelas, vou usar valores de referência para água saturada a 250^\circ\mathrm{C}. Estes valores são típicos das tabelas de vapor saturado; para esta resolução escolho os valores aproximados:
  • \,v_f(250^\circ\mathrm{C}) \approx 0{,}001127\\ \mathrm{m^3/kg}\, (volume específico do líquido saturado),
  • \,v_g(250^\circ\mathrm{C}) \approx 0{,}06077\\ \mathrm{m^3/kg}\, (volume específico do vapor saturado). (este \,v_g foi estimado por aproximação usando a equação dos gases ideais com a pressão de saturação de 250°C; para precisão em prova use a tabela)
  • \,h_{fg}(250^\circ\mathrm{C}) \approx 1875\\ \mathrm{kJ/kg}\, (entalpia de vaporização aproximada; valor típico de tabela — pode variar um pouco conforme a fonte).
Observação didática curta: \,v_f é muito pequeno (líquido praticamente incompressível) e \,v_g é dezenas de vezes maior; a mistura saturada ocupa volume total V=m_f v_f + m_v v_g, onde m_f e m_v são as massas de líquido e vapor.

Passo 3

Definimos a qualidade (fração mássica de vapor) inicial:
x_1=\frac{m_{v,1}}{m_{\text{tot}}},
onde \,m_{\text{tot}} é a massa total inicial e \,m_{v,1} é a massa de vapor inicial. Pelo enunciado, 90\% da massa é líquida, então
x_1=0{,}10.
A relação entre volume total, massas e volumes específicos é:
V = m_{\text{tot}}\big((1-x_1)v_f + x_1 v_g\big).
Dessa equação isolamos m_{\text{tot}}:
m_{\text{tot}}=\frac{V}{(1-x_1)v_f + x_1 v_g}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos (tudo em unidades consistentes).
Primeiro calculemos o denominador:
(1-x_1)v_f + x_1 v_g = 0{,}9\cdot 0{,}001127 + 0{,}1\cdot 0{,}06077.
Faço as multiplicações passo a passo:
0{,}9\cdot 0{,}001127 = 0{,}0010143,
0{,}1\cdot 0{,}06077 = 0{,}006077.
Somando:
(1-x_1)v_f + x_1 v_g = 0{,}0010143 + 0{,}006077 = 0{,}0070913\\ \mathrm{m^3/kg}.
Agora a massa total inicial:
m_{\text{tot}}=\frac{V}{0{,}0070913}=\frac{5}{0{,}0070913}\\ \mathrm{kg}=705{,}30\\ \mathrm{kg}\\ (\text{aprox.}).
Portanto, a massa inicial total no tanque é aproximadamente \,705{,}3\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calculo da massa de vapor inicial e de líquido inicial:
m_{v,1}=x_1 m_{\text{tot}}=0{,}1\cdot 705{,}30=70{,}53\\ \mathrm{kg}.
m_{f,1}=m_{\text{tot}}-m_{v,1}=705{,}30-70{,}53=634{,}77\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Agora tratamos da retirada de 50\\ \mathrm{kg} de vapor e de como isso afeta a composição.
Quando a indústria retira 50\\ \mathrm{kg} de vapor, para manter o tanque à temperatura de saturação 250^\circ\mathrm{C} (isto é, manter pressão e temperatura constantes), líquido vai vaporizar até repor o vapor que saiu — essa vaporização exige calor e transforma massa líquida em vapor dentro do tanque. Se há líquido suficiente (aqui há bastante líquido), a quantidade evaporada será exatamente a massa de vapor retirada, isto é, m_{\text{evap}}=50\\ \mathrm{kg}. Portanto:
  • Massa de vapor dentro do tanque imediatamente após a retirada e reposição por evaporação:
m_{v,2}=m_{v,1}-50 + m_{\text{evap}} = m_{v,1}-50+50 = m_{v,1}=70{,}53\\ \mathrm{kg}.
(O número fica igual porque se retira 50 kg e depois evapora-se 50 kg para repor a fase vapor.)
  • Massa de líquido final:
m_{f,2}=m_{f,1}-m_{\text{evap}}=634{,}77-50=584{,}77\\ \mathrm{kg}.
  • Massa total final no tanque:
m_{2}=m_{\text{tot}}-50=705{,}30-50=655{,}30\\ \mathrm{kg}.
Agora a porcentagem final de vapor (fração mássica em percentagem) é:
\text{percentual de vapor final} = 100\cdot\frac{m_{v,2}}{m_{2}} = 100\cdot\frac{70{,}53}{655{,}30}.
Faço a divisão:
\frac{70{,}53}{655{,}30}\approx 0{,}1077,
portanto em percentagem
\text{percentual de vapor final}\approx 10{,}77\%.
Interpretação curta: a massa de vapor dentro do tanque retornou ao valor inicial em kg (porque se retirou e se repôs a mesma massa), mas como a massa total do tanque diminuiu (saiu 50 kg), a fração mássica de vapor aumentou um pouco, de 10{,}0\% para cerca de 10{,}77\%.

Passo 7

Cálculo do calor necessário para manter o conteúdo do tanque a 250^\circ\mathrm{C} durante a retirada.
Cada quilograma de líquido que evapora absorve o calor latente \,h_{fg} àquela temperatura. Assim o calor total necessário para evaporar m_{\text{evap}}=50\\ \mathrm{kg} é
Q = m_{\text{evap}}\,h_{fg}.
Usando o valor aproximado de tabela que adotamos \,h_{fg}(250^\circ\mathrm{C})\approx 1875\\ \mathrm{kJ/kg}:
Q = 50\cdot 1875\\ \mathrm{kJ} = 93\,750\\ \mathrm{kJ}.
Em unidades mais comuns:
Q = 93{,}750\\ \mathrm{kJ} = 93{,}75\\ \mathrm{MJ}.
Observação didática: esse calor deve ser fornecido ao tanque (por aquecedor, serpentinas, caldeira, etc.) para que a evaporação ocorra mantendo a temperatura de 250^\circ\mathrm{C}. Se em prova forem dadas tabelas, substitua \,h_{fg} pelo valor exato da tabela para obter Q mais preciso.

Resposta

m_{\text{inicial}}\approx 705{,}3\\ \mathrm{kg}
\text{percentual de vapor final}\approx 10{,}77\\ \%
Q \approx 93\,750\\ \mathrm{kJ}\\ (\approx 93{,}75\\ \mathrm{MJ})

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