Um ciclo Brayton, operando com vazão de ar de 20 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} admite ar no primeiro estágio de compressão a 100 kPa e 300 k . Após a compressão o ar passa por processo de resfriamento intermediário retornando à temperatura de 300 K e é admitido pelo segundo estágio de compressão. Em seguida é pre aquecido em um regenerador com eficiência de 75%, que utiliza os gases de escape da turbina como fonte térmica. Após o regenerador o ar é direcionado ao combustor, de onde sai a 1500 K , entra no primeiro estágio de espansão, é reaquecido no combustor até 1500 K , entra no segundo estágio de expansão e é direcionado ao regenerador à uma pressão de 100 kPa . Dado que as expansões e compressões possuem relação de pressão de 8 (Pressão alta/Pressão Baixa) e que operam isentropicamente, determine a potência líquida do ciclo e sua eficiência térmica.

Passo 1

Vou organizar certinho o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Vazão mássica do ar: \dot{m}=20\\ \mathrm{kg/s}.
    • Condição de admissão (entrada do primeiro estágio de compressão): \displaystyle P_1=100\\ \mathrm{kPa}, \displaystyle T_1=300\\ \mathrm{K}.
    • Há dois estágios de compressão com resfriamento interstágio que retorna o ar a 300\\ \mathrm{K} antes do segundo estágio.
    • Há um regenerador com eficiência \eta_{\text{reg}}=75\% = 0{,}75 que pré-aquece o ar usando os gases de exaustão da turbina.
    • Após o regenerador o ar entra no combustor e sai a \displaystyle T_{6}=1500\\ \mathrm{K} (entrada do 1º estágio de expansão).
    • Depois do 1º estágio de expansão o fluido é reaquecido (rechequeado) no combustor até \displaystyle 1500\\ \mathrm{K} e entra no 2º estágio de expansão.
    • Ao final da 2ª expansão o fluxo é enviado ao regenerador a \displaystyle P_{\text{ex}}=100\\ \mathrm{kPa}.
    • Relação de pressão (razão pressão alta / pressão baixa) do ciclo: \displaystyle \Pi_{\text{total}} =8.
    • Compressões e expansões operam isentropicamente.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a potência líquida do ciclo (em kW).
    • Determinar a eficiência térmica do ciclo \eta_{\text{th}}=\dfrac{\text{potência líquida}}{\text{calor adicionado}}êí.
  • Observações importantes (tiradas do enunciado e necessárias pra resolução):
    • O ciclo tem dois compressores com intercooling até 300\\ \mathrm{K} (ou seja, temperatura interstágio igual à temperatura de admissão).
    • O ciclo tem dois expansores (turbinas) com reaquecimento entre eles; cada etapa de compressão/expansão usará uma fração igual da razão de pressão total (ver detalhe no próximo passo).
    • O regenerador pré-aquece o ar comprimido até uma temperatura intermediária determinada pela eficiência do regenerador.

Passo 2

Assunções e metodologia (explicando por quê e as fórmulas que vamos usar):
  • Vou tratar o ar como gás ideal com calor específico constante (aproximação usual em problemas práticos de termodinâmica). Valores adotados:
    • c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
    • \gamma = \dfrac{c_p}{c_v} = 1{,}4.
      Explicação rápida: c_p é o calor específico a pressão constante (energia por unidade de massa e por grau Kelvin). Esses valores são padrão para ar em problemas didáticos.
  • Relação de isentropia (para compressão/expansão isentrópica de um gás ideal com \gamma constante): T_2 = T_1\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.Aqui T são temperaturas (K) e P pressões. Essa fórmula vem da combinação da lei dos gases ideais e da relação isentrópica P V^\gamma= const.
  • Como temos dois estágios iguais (otimais) de compressão com intercooler ideal ao mesmo T inicial, o mínimo trabalho (e normalmente o projeto) usa razões de pressão iguais por estágio. Portanto: \Pi_{\text{stage}} = \sqrt{\Pi_{\text{total}}} = \sqrt{8}.Mesma ideia para as duas expansões (cada estágio expande pela mesma razão).
  • Regenerador (efeito térmico): a eficácia do regenerador \eta_{\text{reg}} é definida como a fração do aquecimento máximo possível que é efetivamente alcançado: \eta_{\text{reg}}=\dfrac{T_{5}-T_{4}}{T_{9}-T_{4}},onde:
    • T_4 é a temperatura do ar comprimido antes do regenerador,
    • T_9 é a temperatura do gás de exaustão vindo da turbina antes do regenerador,
    • T_5 é a temperatura do ar após o regenerador (entrada do combustor).
      Assim:
    T_5 = T_4 + \eta_{\text{reg}}\,(T_9 - T_4).
  • Trabalhos e calor:
    • Trabalho total de compressão (por unidade de tempo): \dot{W}_c = \dot{m}\,c_p\Big[(T_2-T_1) + (T_4-T_3)\Big],onde T_3 é a temperatura após o resfriamento interstágio (aqui T_3=T_1=300\\ \mathrm{K}).
    • Trabalho total de expansão (turbinas): \dot{W}_t = \dot{m}\,c_p\Big[(T_6-T_7) + (T_8-T_9)\Big],onde T_6 e T_8 são entradas das turbinas (aqui ambas 1500\\ \mathrm{K} por projeto) e T_7,T_9 são as temperaturas após cada expansão.
    • Potência líquida: \dot{W}_{\text{líq}} = \dot{W}_t - \dot{W}_cí.
    • Calor adicionado total (nos dois combustores): \dot{Q}_{\text{in}}=\dot{m}\,c_p\Big[(T_6-T_5)+(T_8-T_7)\Big].
    • Eficiência térmica: \eta_{\text{th}}=\dfrac{\dot{W}_{\text{líq}}}{\dot{Q}_{\text{in}}}.í

Passo 3

Calcular as pressões dos estágios e a razão de pressão por estágio.
  • Pressão baixa: \displaystyle P_1 = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Razão de pressão total: \displaystyle \Pi_{\text{total}}=8 então pressão alta é: P_{\text{alta}} = \Pi_{\text{total}}\cdot P_1 = 8\cdot 100\\ \mathrm{kPa} = 800\\ \mathrm{kPa}.
  • Razão de pressão por estágio (dois estágios iguais): \Pi_{\text{stage}} = \sqrt{8} \approx 2{,}828427.
  • Pressão intermediária (entre estágios) é então P_{\text{int}} = \Pi_{\text{stage}}\cdot P_1 \approx 2{,}828427\cdot 100\\ \mathrm{kPa}\approx 282{,}8427\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Temperaturas após os compressores (usar a relação isentrópica).
  • Fórmula isentrópica novamente: T_2 = T_1\left(\Pi_{\text{stage}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.Com \gamma=1{,}4 temos o expoente \dfrac{\gamma-1}{\gamma} = \dfrac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots
  • Cálculo numérico: T_2 = 300\cdot\left(2{,}828427\right)^{0{,}285714}\approx 403{,}70\\ \mathrm{K}.
  • Como há intercooling ideal, o ar volta a T_3=300\\ \mathrm{K} antes do segundo compressor. O segundo compressor é idêntico em razão de pressão, então T_4 = T_3\left(\Pi_{\text{stage}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \approx 300\cdot\left(2{,}828427\right)^{0{,}285714}\approx 403{,}70\\ \mathrm{K}.
  • Observação: o ar comprimido após o segundo estágio tem temperatura \displaystyle T_4\approx 403{,}70\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Temperaturas após as expansões (turbinas) — isentrópicas também.
  • Entrada das turbinas: \displaystyle T_6=T_8=1500\\ \mathrm{K} (após combustores).
  • A razão de pressão em cada etapa de expansão é a mesma \Pi_{\text{stage}}=2{,}828427, portanto a relação de pressões do ponto de entrada para saída de cada turbina é P_{\text{saida}}/P_{\text{entrada}}=1/\Pi_{\text{stage}}.
  • Aplicando a fórmula isentrópica para expansão (mesma forma): T_7 = T_6\left(\frac{P_7}{P_6}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} =T_6\left(\frac{1}{\Pi_{\text{stage}}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.Numericamente: T_7 \approx 1500\cdot\left(\frac{1}{2{,}828427}\right)^{0{,}285714}\approx 1114{,}53\\ \mathrm{K}.
  • O segundo estágio é igual (mesma razão de pressão) e, por construção do ciclo com reaquecimento até 1500\\ \mathrm{K}, a saída da segunda turbina tem temperatura T_9 \approx 1500\cdot\left(\frac{1}{2{,}828427}\right)^{0{,}285714}\approx 1114{,}53\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Usar o regenerador (calcular a temperatura do ar após pré-aquecimento, T_5).
  • A temperatura máxima que o ar comprimido poderia atingir no regenerador (no limite ideal) seria T_9 (temperatura do gás quente). A eficácia do regenerador dá a fração desse aquecimento que é alcançada: T_5 = T_4 + \eta_{\text{reg}}\,(T_9 - T_4).
  • Substituindo valores: T_5 \approx 403{,}70 + 0{,}75\,(1114{,}53 - 403{,}70) \approx 403{,}70 + 0{,}75\cdot710{,}83 \approx 936{,}82\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Calcular os calores adicionados nos combustores.
  • Primeiro combustor aquece do ar pré-aquecido T_5 até 1500\\ \mathrm{K}: \dot{Q}_{\text{add1}}=\dot{m}\,c_p\,(1500-T_5).
  • Segundo combustor (reaquecimento) aquece do T_7 (saída da 1ª turbina) até 1500\\ \mathrm{K}: \dot{Q}_{\text{add2}}=\dot{m}\,c_p\,(1500-T_7).
  • Numérico (usar \dot{m}=20\\ \mathrm{kg/s}, c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}): \dot{Q}_{\text{add1}}\approx 20\cdot1{,}005\cdot(1500-936{,}82) \approx 11\,319{,}93\\ \mathrm{kW},
\dot{Q}_{\text{add2}}\approx 20\cdot1{,}005\cdot(1500-1114{,}53) \approx 7\,748{,}04\\ \mathrm{kW}.
  • Calor total adicionado: \dot{Q}_{\text{in}}=\dot{Q}_{\text{add1}}+\dot{Q}_{\text{add2}}\approx 19\,067{,}97\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Calcular trabalho das máquinas (compressão e expansão).
  • Trabalho dos compressores (dois estágios; temperatura interstágio volta a 300\\ \mathrm{K}): \dot{W}_c=\dot{m}\,c_p\Big[(T_2-T_1)+(T_4-T_3)\Big],onde T_1=T_3=300\\ \mathrm{K} e T_2=T_4\approx 403{,}70\\ \mathrm{K}.
    Numérico: \dot{W}_c \approx 20\cdot1{,}005\cdot\big[(403{,}70-300)+(403{,}70-300)\big] \approx 4\,168{,}77\\ \mathrm{kW}.
  • Trabalho das turbinas (duas expansões; entradas a 1500\\ \mathrm{K}): \dot{W}_t=\dot{m}\,c_p\Big[(T_6-T_7)+(T_8-T_9)\Big],com T_6=T_8=1500\\ \mathrm{K} e T_7=T_9\approx 1114{,}53\\ \mathrm{K}.
    Numérico: \dot{W}_t \approx 20\cdot1{,}005\cdot\big[(1500-1114{,}53)+(1500-1114{,}53)\big] \approx 15\,496{,}07\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Potência líquida e eficiência térmica (fórmulas e substituição numérica).
  • Potência líquida: \dot{W}_{\text{líq}}=\dot{W}_t-\dot{W}_c \approx 15\,496{,}07 - 4\,168{,}77 \approx 11\,327{,}30\\ \mathrm{kW}.í
  • Eficiência térmica: \eta_{\text{th}}=\dfrac{\dot{W}_{\text{líq}}}{\dot{Q}_{\text{in}}} \approx \dfrac{11\,327{,}30}{19\,067{,}97}\approx 0{,}5942 \approx 59{,}42\%.í

Resposta

Potência líquida \dot{W}_{\text{líq}} \approx 11\,327{,}3\\ \mathrm{kW}í
Eficiência térmica \eta_{\text{th}} \approx 0{,}5942 \;(\approx 59{,}42\%)

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