Questão 01 - A combustão do gasolina na presença de oxigênio é de segunda ordem com relação ao \mathrm{C}_{8} \mathrm{H}_{18}, sendo as quantidades iniciais dos reagentes iguais 0,105 e 0,79 \mathrm{mol} / \mathrm{L}, respectivamente. De acordo com a reação química balanceada, responda:
\mathrm{C}_{8} \mathrm{H}_{18(\mathrm{~g})}+\mathrm{O}_{2}\rightarrow\mathrm{CO}_{2}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
a) Qual o valor da constante de velocidade de reação a 20^{\circ} \mathrm{C}, quando em 90 segundos 15 \% da reação se completou;
b) A velocidade da reação nessas condições;
c) Qual a concentração da gasolina em uma hora de reação.
d) O tempo de meia vida do propano.
e) Considerando que a reação é de primeira ordem com relação ao oxigênio, calcule a constante de velocidade quando 45 \% da reação reagiu em meia hora de reação à 25^{\circ} \mathrm{C}.
Deduza todas as fórmulas necessárias.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue eu peguei do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Reação química (balanceada): \mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{18} + \mathrm{O}_2 \rightarrow \mathrm{CO}_2 + \mathrm{H}_2\mathrm{O}.
  • A reação é de segunda ordem com respeito a \mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{18}; isto é, a lei de velocidade, para o hidrocarboneto, pode ser escrita como \;v = k\,[\mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{18}]^{2}.
  • Concentrações iniciais: [\mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{18}]_0 = 0,105\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e [\mathrm{O}_2]_0 = 0,79\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Parte (a): em t = 90\\ \mathrm{s}, 15\% da reação se completou — isto significa que 15\% do hidrocarboneto foi consumido. Pedem a constante de velocidade a 20^\circ\mathrm{C}.
  • Parte (b): pedem a velocidade da reação “nessas condições” (vou interpretar como a velocidade instantânea no tempo em que foi observado o progresso de 15\%, ou seja em t=90\\ \mathrm{s}).
  • Parte (c): pedem a concentração do hidrocarboneto após 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
  • Parte (d): pedem o tempo de meia-vida (half-life) do “propano” — vou entender como o tempo de meia-vida para uma reação de segunda ordem (a fórmula é análoga para qualquer reagente segundo ordem), usando a concentração inicial dada [\mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{18}]_0=0,105\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Parte (e): agora a reação é considerada de primeira ordem com respeito ao oxigênio; foi observado que 45\% da reação reagiu em meia hora ( 30\\ \mathrm{min}=1800\\ \mathrm{s}) a 25^\circ\mathrm{C}. Pedem a constante de velocidade (para a ordem 1) relativa ao oxigênio. Assumo que “45% da reação reagiu” significa que a concentração de \mathrm{O}_2 foi reduzida a 55\% de seu valor inicial ( [\mathrm{O}_2]_t = 0{,}55\,[\mathrm{O}_2]_0).
O que vamos calcular: (a) k (segunda ordem, unidades \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}), (b) velocidade instantânea v(t=90\\ \mathrm{s}), (c) [\mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{18}](3600\\ \mathrm{s}), (d) t_{1/2} para segunda ordem com a [\mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{18}]_0 dada, (e) k para primeira ordem do \mathrm{O}_2 usando 45% consumido em 1800 s.

Passo 2

Derivação da lei integrada para reação de segunda ordem com a forma v = -\dfrac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2. (Aqui uso A para \mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{18}.)
Separando variáveis e integrando:
-\frac{d[A]}{[A]^2} = k\,dt.
Integrando de t=0 a t=t e de [A]_0 a [A](t):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} -\frac{d[A]}{[A]^2} = \int_0^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \left[\frac{1}{[A]}\right]_{[A]_0}^{[A](t)}. Logo obtemos a forma conhecida:
\frac{1}{[A](t)} = \frac{1}{[A]_0} + k\,t.
Essa é a fórmula que usaremos para as partes (a) e (c). Repare que para segunda ordem o inverso da concentração cresce linearmente com o tempo.

Passo 3

Aplicando a fórmula à parte (a) para encontrar k.
Dados numéricos:
[\!A\!]_0 = 0{,}105\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Após t=90\\ \mathrm{s}, 15\% consumido \Rightarrow [A](90\\ \mathrm{s}) = 0{,}85\,[A]_0 = 0{,}85\times0{,}105 = 0{,}08925\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Usando
\frac{1}{[A](t)} = \frac{1}{[A]_0} + k\,t,
isolamos k:
k = \frac{\dfrac{1}{[A](t)} - \dfrac{1}{[A]_0}}{t}.
Substituindo valores:
\frac{1}{[A](90)} = \frac{1}{0{,}08925}\approx 11{,}203008\\ \mathrm{L\,mol^{-1}},
\frac{1}{[A]_0} = \frac{1}{0{,}105}\approx 9{,}5238095\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
Diferença:
\dfrac{1}{[A](90)}-\dfrac{1}{[A]_0}\approx 1{,}6791985\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
Logo
k \approx \frac{1{,}6791985}{90\\ \mathrm{s}} \approx 0{,}0186578\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}.
Portanto a constante de velocidade (a 20^\circ\mathrm{C}) é k\approx 0{,}01866\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}.

Passo 4

Parte (b): calcular a velocidade instantânea em t=90\\ \mathrm{s} (quando 15% reagiu).
A expressão da velocidade instantânea, lembrando o sinal negativo (consumo), é
v(t) = -\frac{d[A]}{dt} = k\,[A](t)^2.
Substituindo k e [A](90)=0{,}08925\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}:
v(90) = 0{,}0186578 \times (0{,}08925)^2.
Calculemos:
(0{,}08925)^2 \approx 0{,}00796656,
v(90) \approx 0{,}0186578 \times 0{,}00796656 \approx 0{,}0001487\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.
Portanto a velocidade instantânea no tempo considerado é v\approx 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.

Passo 5

Parte (c): concentração do hidrocarboneto após 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
Usamos novamente a lei integrada para segunda ordem:
\frac{1}{[A](t)} = \frac{1}{[A]_0} + k\,t.
Com \dfrac{1}{[A]_0}\approx 9{,}5238095\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}, k\approx 0{,}0186578\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}} e t=3600\\ \mathrm{s}:
\frac{1}{[A](3600)} = 9{,}5238095 + 0{,}0186578\times 3600 \approx 9{,}5238095 + 67{,}16796 \approx 76{,}69177.
Portanto
[A](3600) \approx \frac{1}{76{,}69177} \approx 0{,}01303\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 6

Parte (d): tempo de meia-vida ( t_{1/2}) para reação de segunda ordem.
Para reação de segunda ordem com a lei v = k[A]^2, a meia-vida depende da concentração inicial e a fórmula é:
t_{1/2} = \frac{1}{k\,[A]_0}.
Derivação rápida: definir t_{1/2} por [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2} e aplicar a lei integrada:
\frac{1}{[A]_0/2} = \frac{1}{[A]_0} + k\,t_{1/2}\quad\Rightarrow\quad \frac{2}{[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = k\,t_{1/2}\quad\Rightarrow\quad t_{1/2} = \frac{1}{k\,[A]_0}.
Substituindo k\approx 0{,}0186578\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}} e [A]_0=0{,}105\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}:
t_{1/2} \approx \frac{1}{0{,}0186578\times 0{,}105} \approx \frac{1}{0{,}00195867} \approx 510{,}49\\ \mathrm{s}.
Em minutos isso é \approx 8{,}51\\ \mathrm{min}.

Passo 7

Parte (e): reação de primeira ordem em relação ao \mathrm{O}_2. Encontrar a constante k quando 45\% da reação reagiu em 30\\ \mathrm{min}=1800\\ \mathrm{s}.
Para primeira ordem em \mathrm{O}_2, a lei integrada é:
\ln\!\left(\frac{[O_2](t)}{[O_2]_0}\right) = -k\,t.
Se 45\% da reação ocorreu, a concentração de \mathrm{O}_2 ficou em 55\% do valor inicial (assumindo consumo proporcional), logo
[O_2](t) = 0{,}55\,[O_2]_0.
Isolando k:
k = -\frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{[O_2](t)}{[O_2]_0}\right) = -\frac{1}{t}\ln(0{,}55).
Substituindo t=1800\\ \mathrm{s}:
\ln(0{,}55)\approx -0{,}597837,
k \approx -\frac{1}{1800}(-0{,}597837) \approx 0{,}00033213\\ \mathrm{s^{-1}}.
Opcionalmente em unidades por minuto:
k \approx \frac{0{,}597837}{30\\ \mathrm{min}} \approx 0{,}019928\\ \mathrm{min^{-1}}.

Resposta

(a) k \approx 0{,}01866\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}
(b) v(90\\ \mathrm{s}) \approx 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}
(c) [\mathrm{C}_{8}\mathrm{H}_{18}](3600\\ \mathrm{s}) \approx 0{,}01303\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
(d) t_{1/2} \approx 510{,}5\\ \mathrm{s}\\ (\approx 8{,}51\\ \mathrm{min})
(e) k_{\text{(1ª ordem em O}_2)} \approx 3{,}32\times10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}ª

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