Um inventor diz ter criado uma máquina cíclica que troca calor com reservatórios a 25^{\circ} \mathrm{C} e 250^{\circ} \mathrm{C}, e produz 0,45 \mathrm{~kJ} de trabalho para cada kJ de calor extraído do reservatório quente. É possível acreditar nessa invenção?
5.43. Calor, em uma quantidade de 150 KJ , é transferido diretamente de um reservatório quente a T \mathrm{a}=550 \mathrm{~K} para dois reservatórios mais frios a T_{1}=350 \mathrm{Ke} T_{2}=250 \mathrm{~K}. A temperatura da vizinhança é T a=300 \mathrm{~K}. Se a transferência de calor para o reservatório a T, for a metade daquela transferida para o reservatório a T_{2}, calcule:
(a) A geração de entropia em \mathrm{kJ} \mathrm{K}^{-1}.
(b) O trabalho perdido.

Passo 1

O enunciado traz dois problemas de termodinâmica:
  1. Uma máquina cíclica a opera entre reservatórios a 25^\circ\mathrm{C} e 250^\circ\mathrm{C}, extraindo 1{,}00\\ \mathrm{kJ} do quente e convertendo 0{,}45\\ \mathrm{kJ} em trabalho. Pergunta-se se isso viola a segunda lei.
  2. São transferidos 150\\ \mathrm{kJ} de um reservatório quente a T_H=550\\ \mathrm{K} para dois frios a T_1=350\\ \mathrm{K} e T_2=250\\ \mathrm{K}, com Q_1=\tfrac12\,Q_2. A vizinhança está a T_0=300\\ \mathrm{K}. Pede-se (a) a geração de entropia e (b) o trabalho perdido.
Para resolver:
  • Comparar eficiência dada com a eficiência de Carnot.
  • Aplicar balanço de entropia \Delta S=-\tfrac{Q_H}{T_H}+\sum\tfrac{Q_i}{T_i}.
  • Calcular W_{\rm perdido}=T_0\,S_{\rm gerada}.

Passo 2

Primeiro problema – eficiência versus Carnot:
A eficiência real é
\eta_{\rm real}=\frac{W}{Q_H}=\frac{0{,}45}{1{,}00}=0{,}45.
A temperatura em Kelvin é T_H=250+273=523\\ \mathrm{K} e T_C=25+273=298\\ \mathrm{K}. A eficiência de Carnot é
\eta_{\rm C} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{298}{523}\approx 0{,}4317.
Como \eta_{\rm real}>\eta_{\rm C}, a máquina violaria a segunda lei da termodinâmica.

Passo 3

Segundo problema – divisão dos calores:
Temos Q_1+Q_2=150\\ \mathrm{kJ} e Q_1=\tfrac12\,Q_2, logo Q_2=2\,Q_1 e
Q_1+2\,Q_1=150\quad\Longrightarrow\quad Q_1=50\\ \mathrm{kJ},\quad Q_2=100\\ \mathrm{kJ}.
A geração de entropia é
\Delta S = -\frac{Q_H}{T_H}+\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2} =-\frac{150}{550}+\frac{50}{350}+\frac{100}{250} \approx -0{,}2727+0{,}1429+0{,}4000 =0{,}2702\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{K}^{-1}.

Passo 4

Cálculo do trabalho perdido:
W_{\rm perdido}=T_0\,\Delta S =300\\ \mathrm{K}\times 0{,}2702\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{K}^{-1} \approx 81{,}06\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

  1. Não é possível acreditar na invenção, pois \eta_{\rm real}=0{,}45>\eta_{\rm C}\approx0{,}4317.
    2.(a) S_{\rm gerada}=0{,}2702\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{K}^{-1}
    (b) W_{\rm perdido}=81{,}06\\ \mathrm{kJ}

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