Uma bomba puxa água de um lago a uma vazão volumétrica de
através de uma tubulação de 15 cm de diâmetro. A água é conduzida por uma mangueira que termina em um bocal cujo diâmetro de saída é de 3 cm e que está localizado a 10 m de altura. A água entra na bomba como água líquida saturada a
e sai no bocal sem alteração significativa de T e P . A transferência de calor da bomba para as vizinhanças é de
da potência da bomba. Determine:
(a) a velocidade da água na entrada e na saída em
.
(b) a potência requerida pela bomba.
(a) a velocidade da água na entrada e na saída em
(b) a potência requerida pela bomba.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) as velocidades da água na entrada e na saída em ;
(b) a potência requerida pela bomba.
(a) as velocidades da água na entrada e na saída em
(b) a potência requerida pela bomba.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Observação sobre a água: entra como líquido a
; para simplificar os cálculos vou usar a densidade aproximada
Não foi mencionada perda por atrito na tubulação nem diferença de pressão significativa além da elevação e da aceleração no bocal, então usaremos essa hipótese (se houvesse perda por atrito precisaríamos incluí‑la).
Passo 2
Primeiro converto a vazão volumétrica para
, porque é a unidade mais conveniente:
Passo 3
Agora calculo as áreas das seções circulars (fórmula da área de um círculo:
). Explico:
é a área da seção transversal e
é o diâmetro; com essa área podemos relacionar vazão e velocidade pela equação
.
Área da entrada:
Área da saída:
Passo 4
Velocidade a partir de
. Vou explicar:
é a velocidade média na seção,
é a vazão volumétrica,
é a área — é direta a relação porque o volume que passa por segundo é a área vezes a distância percorrida por segundo.
Velocidade na entrada:
Velocidade na saída:
Comentário prático: note que
, então
e assim
. Isso é uma boa checagem rápida dos cálculos.
Passo 5
Agora a potência requerida pela bomba. Primeiro calculo a vazão mássica:
Passo 6
Vamos ao balanço de energia (explico a ideia): a bomba fornece potência (eixo)
. Parte dessa potência sai para o fluido na forma de aumento de energia potencial (elevar a água) e energia cinética (aumentar velocidade no bocal). O enunciado diz que a bomba transfere para as vizinhanças uma quantidade de calor igual a
da potência da bomba — isto é,
da potência do eixo é perdida em forma de calor para o ambiente e não vai para o fluido. Portanto a potência efetivamente entregue ao fluido é
.
Negligenciando variações de energia interna (a água mantém praticamente a mesma temperatura) e diferenças de pressão úteis (entrada e saída estão essencialmente à pressão ambiente), a energia por unidade de massa que o fluido precisa ganhar é:
Explicando:
é o acréscimo de energia potencial por unidade de massa ao subir
, e
é a energia cinética por unidade de massa.
Potência entregue ao fluido (útil) é:
Relação com a potência do eixo:
Logo:
Passo 7
Agora substituo os valores numéricos. Primeiro calculo o termo cinético por unidade de massa:
Energia potencial por unidade de massa:
Somando:
Potência útil:
Finalmente, a potência no eixo da bomba (corrigida pela perda de
):
Resposta
(a)
(b)
(b)