O lançamento de uma moeda não necessariamente honesta, que produz cara com probabilidade
, pode ser associado a uma distribuição de probabilidade binária
em que
representa coroa e
representa cara. Calcule o valor médio e a variância de
segundo essa distribuição.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição discreta da variável aleatória
(moeda que pode dar coroa ou cara):
onde
representa coroa e
representa cara.
O que o problema pede:
O que o problema pede:
- Calcular o valor médio (esperança) de
. - Calcular a variância de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. - Os possíveis valores de
são apenas e .
Passo 2
Definição e fórmula da esperança para variáveis discretas: a esperança (valor médio) de uma variável discreta
que toma valores
com probabilidades
é
Aqui a variável é
e os valores são
e
. Vou aplicar essa fórmula explicitamente. (Explicação curta: multiplicamos cada valor que a variável pode assumir pela probabilidade desse valor e somamos — é a média ponderada pelos probabilidades.)
Passo 3
Cálculo da esperança
. Usando a fórmula:
Substituindo as probabilidades que temos:
Portanto o valor médio é
. (Interpretação: a média é exatamente a probabilidade de sair cara.)
Passo 4
Definição e fórmula da variância. A variância de
mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada por
ou, equivalentemente, pela identidade
Vou usar a segunda fórmula porque é direta aqui. Primeiro preciso de
.
Passo 5
Cálculo de
. Para os valores possíveis de
temos
e
, ou seja,
sempre que
. Então
Agora aplico a fórmula da variância:
Passo 6
Verificação alternativa (pela definição direta) — só para reforçar a compreensão: usando
,
o que confirma
.
Passo 7
Interpretação rápida e exemplos para intuir o resultado:
- Se
ou (moeda viciada sempre em coroa ou sempre em cara) então — sem incerteza. - Se
(moeda justa) então . - A variância é máxima quando
, mostrando maior incerteza quando as duas faces são igualmente prováveis.
Força aí nos estudos — você já tem a fórmula e a intuição para resolver rapidamente esse tipo de questão na prova!