O lançamento de uma moeda não necessariamente honesta, que produz cara com probabilidade p, pode ser associado a uma distribuição de probabilidade binária
P_{m}(m)=p \delta(m-1)+(1-p) \delta(m),
em que m=0 representa coroa e m=1 representa cara. Calcule o valor médio e a variância de m segundo essa distribuição.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição discreta da variável aleatória m (moeda que pode dar coroa ou cara):
P_{m}(m)=p\,\delta(m-1)+(1-p)\,\delta(m),
onde m=0 representa coroa e m=1 representa cara.
O que o problema pede:
  • Calcular o valor médio (esperança) de m.
  • Calcular a variância de m.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • P(m=1)=p.
  • P(m=0)=1-p.
  • Os possíveis valores de m são apenas 0 e 1.

Passo 2

Definição e fórmula da esperança para variáveis discretas: a esperança (valor médio) de uma variável discreta X que toma valores x_i com probabilidades P(X=x_i) é
\mathbb{E}[X]=\sum_i x_i\,P(X=x_i).
Aqui a variável é m e os valores são 0 e 1. Vou aplicar essa fórmula explicitamente. (Explicação curta: multiplicamos cada valor que a variável pode assumir pela probabilidade desse valor e somamos — é a média ponderada pelos probabilidades.)

Passo 3

Cálculo da esperança \mathbb{E}[m]. Usando a fórmula:
\mathbb{E}[m]=0\cdot P(m=0)+1\cdot P(m=1).
Substituindo as probabilidades que temos:
\mathbb{E}[m]=0\cdot(1-p)+1\cdot p = p.
Portanto o valor médio é \mathbb{E}[m]=p. (Interpretação: a média é exatamente a probabilidade de sair cara.)

Passo 4

Definição e fórmula da variância. A variância de X mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada por
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}\bigl[(X-\mathbb{E}[X])^2\bigr],
ou, equivalentemente, pela identidade
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2.
Vou usar a segunda fórmula porque é direta aqui. Primeiro preciso de \mathbb{E}[m^2].

Passo 5

Cálculo de \mathbb{E}[m^2]. Para os valores possíveis de m temos 0^2=0 e 1^2=1, ou seja, m^2=m sempre que m\in\{0,1\}. Então
\mathbb{E}[m^2]=0\cdot(1-p)+1\cdot p = p.
Agora aplico a fórmula da variância:
\mathrm{Var}(m)=\mathbb{E}[m^2]-\bigl(\mathbb{E}[m]\bigr)^2 = p - p^2 = p(1-p).

Passo 6

Verificação alternativa (pela definição direta) — só para reforçar a compreensão: usando \mathrm{Var}(m)=\sum (m-\mathbb{E}[m])^2 P(m),
\mathrm{Var}(m)=(0-p)^2(1-p)+(1-p)^2 p = p^2(1-p)+(1-2p+p^2)p = p-p^2,
o que confirma \mathrm{Var}(m)=p(1-p).

Passo 7

Interpretação rápida e exemplos para intuir o resultado:
  • Se p=0 ou p=1 (moeda viciada sempre em coroa ou sempre em cara) então \mathrm{Var}(m)=0 — sem incerteza.
  • Se p=\tfrac{1}{2} (moeda justa) então \mathrm{Var}(m)=\tfrac{1}{4}.
  • A variância é máxima quando p=\tfrac{1}{2}, mostrando maior incerteza quando as duas faces são igualmente prováveis.
Força aí nos estudos — você já tem a fórmula e a intuição para resolver rapidamente esse tipo de questão na prova!

Resposta

\mathbb{E}[m]=p
\mathrm{Var}(m)=p(1-p)

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