A Lei de Dalton das pressões parciais estabelece que, em uma mistura de gases ideais, cada componente exerce uma pressão parcial como se estivesse sozinho no recipiente, independentemente dos demais gases presentes. Considere uma mistura gasosa de \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}) e \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) com densidade de 0,216 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~L}^{-1} a 300 K e 500 torr. Determine a fração molar de cada componente na mistura.
\bigcirc a. 0,50
\bigcirc b. 0,25
\bigcirc c. 0,90
\bigcirc d. 0,85
\bigcirc e. 0,75

Passo 1

O enunciado pede para determinar a fração molar de cada componente numa mistura gasosa de \mathrm{H}_2(\mathrm{g}) e \mathrm{N}_2(\mathrm{g}). Dados fornecidos:
  • densidade da mistura: \rho = 0{,}216\\ \mathrm{g\cdot L^{-1}},
  • temperatura: T = 300\\ \mathrm{K},
  • pressão: P = 500\\ \mathrm{torr},
  • componentes: \mathrm{H}_2 (massa molar M_{\mathrm{H}_2}) e \mathrm{N}_2 (massa molar M_{\mathrm{N}_2}).
    As perguntas são: qual a fração molar de \mathrm{H}_2 e qual a fração molar de \mathrm{N}_2 na mistura?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: a lei dos gases ideais diz que
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases ideais e T a temperatura. Para uma amostra qualquer a densidade (massa por volume) pode ser escrita em função da massa molar média \bar M assim:
\rho=\frac{m}{V}=\frac{n\bar M}{V}=\frac{P\bar M}{RT}.
Aqui:
  • \rho é a densidade (g·L^{-1}),
  • \bar M é a massa molar média da mistura (g·mol^{-1}),
  • P é a pressão (em unidades compatíveis com R),
  • R é a constante dos gases (vou usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • T é a temperatura (K).
Explicação rápida: n/V é a concentração molar; multiplicando por \bar M obtemos massa/volume, que é a densidade.

Passo 3

Converter a pressão de \mathrm{torr} para \mathrm{atm}, porque vou usar R em L·atm·mol{-1}·K{-1}:
P = 500\\ \mathrm{torr} = \frac{500}{760}\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Calcular a massa molar média \bar M da mistura usando
\bar M = \frac{\rho R T}{P}.
Substituindo os valores (note que P=\dfrac{500}{760}\\ \mathrm{atm}, então dividir por P é multiplicar por \dfrac{760}{500}=1{,}52):
\rho R T = 0{,}216 \times 0{,}082057 \times 300 = 5{,}3172976
e
\bar M = 5{,}3172976 \times \frac{760}{500} = 5{,}3172976 \times 1{,}52 = 8{,}082292352\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Arredondando com sentido prático: \bar M \approx 8{,}082\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.

Passo 5

Agora escrevemos a massa molar média da mistura como média ponderada pelas frações molares. Denotando x a fração molar de \mathrm{H}_2 ( x\equiv x_{\mathrm{H}_2}) e lembrando que x_{\mathrm{N}_2}=1-x, temos:
\bar M = x M_{\mathrm{H}_2} + (1-x) M_{\mathrm{N}_2}.
As massas molares (valores convencionais):
M_{\mathrm{H}_2} = 2{,}016\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}},\qquad M_{\mathrm{N}_2} = 28{,}02\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.

Passo 6

Substituindo \bar M e as massas molares na equação:
8{,}082 = x\cdot 2{,}016 + (1-x)\cdot 28{,}02.
Desenvolvendo:
8{,}082 = 2{,}016x + 28{,}02 - 28{,}02x = 28{,}02 - (28{,}02-2{,}016)x.
Calcule a diferença:
28{,}02-2{,}016 = 26{,}004.
Assim:
8{,}082 = 28{,}02 - 26{,}004x
e isolando x:
26{,}004x = 28{,}02 - 8{,}082 = 19{,}938,
x = \frac{19{,}938}{26{,}004} \approx 0{,}7668.

Passo 7

Portanto a fração molar de \mathrm{H}_2 é aproximadamente x_{\mathrm{H}_2}\approx 0{,}767. A fração molar de \mathrm{N}_2 é
x_{\mathrm{N}_2}=1-x_{\mathrm{H}_2}\approx 1-0{,}7668=0{,}2332\\ (\approx 0{,}233).

Passo 8

Checagem e interpretação: esse resultado faz sentido porque a massa molar média é bem menor que a do \mathrm{N}_2, indicando predominância molar de \mathrm{H}_2. Entre as alternativas dadas, a mais próxima para a fração molar de \mathrm{H}_2 é a alternativa \mathrm{(e)}\\\ 0{,}75, mas o valor calculado mais preciso é \approx 0{,}767.

Resposta

x_{\mathrm{H}_2}\approx 0{,}767
x_{\mathrm{N}_2}\approx 0{,}233

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