4-A equação da conservação da massa na forma integral expressa:
a) A variação da energia de um sistema com o tempo
b) O balanço de momento linear do fluido c) A constância da vazăo mássica em regime permanente

Passo 1

O enunciado pergunta qual afirmação corresponde à equação da conservação da massa na forma integral. As opções fornecidas são:
a) A variação da energia de um sistema com o tempo
b) O balanço de momento linear do fluido
c) A constância da vazão mássica em regime permanente
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Trata-se explicitamente da “equação da conservação da massa” escrita na forma integral.
  • As alternativas relacionam essa equação com conceitos de energia, momento e vazão mássica em regime permanente.

Passo 2

O que significa, em palavras, a conservação da massa na forma integral?
  • Significado físico: a massa total dentro de um volume de controle só muda devido à massa que entra ou sai através da superfície que o delimita (não pode “sumir” nem “aparecer” sem fluxo de massa).
  • Para formalizar essa ideia usamos uma expressão integral. Considere um volume de controle fixo no espaço (CV) com superfície de controle (CS). A forma integral da conservação da massa para esse CV fixo é:
\frac{d}{dt}\int_{CV} \rho\, dV + \int_{CS} \rho\, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS = 0.
Expliquei cada termo:
  • \rho é a densidade do fluido (massa por unidade de volume).
  • \int_{CV} \rho\, dV é a massa total contida no volume de controle.
  • \frac{d}{dt} é a derivada temporal da massa dentro do CV (variação da massa com o tempo).
  • \mathbf{v} é o vetor velocidade do fluido em cada ponto da superfície.
  • \mathbf{n} é o vetor normal unitário à superfície, apontando para fora do CV.
  • \int_{CS} \rho\, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS é o fluxo de massa líquido através da superfície: valores positivos significam saída de massa, negativos significam entrada.
    A equação diz: taxa de variação da massa dentro do CV + fluxo de massa líquido pela superfície = 0. Essa é a versão integral do princípio de conservação da massa.

Passo 3

Como usamos essa equação para chegar à conclusão sobre a vazão mássica em regime permanente?
  • Em regime permanente (estado estacionário) as propriedades do fluxo não mudam com o tempo dentro do CV. Isso significa que a massa no CV não varia com o tempo, portanto:
\frac{d}{dt}\int_{CV} \rho\, dV = 0.
  • Substituindo na forma integral obtém-se:
\int_{CS} \rho\, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS = 0.
Interpretação: o fluxo de massa total que entra e sai do CV se equilibra; não há acúmulo líquido de massa.
  • Se o comportamento do fluxo puder ser reduzido a secções de entrada e saída discretas (ex.: um tubo com secção 1 e secção 2), a integral sobre a superfície se reduz à soma dos fluxos nas secções. Chamando a vazão mássica em cada secção de \dot m, temos:
\dot m_1 + \dot m_2 = 0,
onde, por convenção, entradas podem ser negativas e saídas positivas. Em módulo, para um único conduto contínuo, isso implica:
\dot m_1 = \dot m_2 = \text{constante ao longo do conduto}.
  • Em forma prática e muito usada: a vazão mássica é
\dot m = \int_{A} \rho\, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dA,
e em regime permanente essa vazão mássica não depende da posição ao longo do escoamento (é constante). Para um fluido incompressível (densidade \rho constante) em um tubo com áreas transversais A_1 e A_2 e velocidades médias v_1 e v_2, isso reduz-se a:
\rho A_1 v_1 = \rho A_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad A_1 v_1 = A_2 v_2,
mostrando claramente que a vazão volumétrica e, portanto, a vazão mássica permanecem constantes ao longo do escoamento em regime permanente.

Passo 4

Por que as outras alternativas não são corretas?
  • Alternativa a): “A variação da energia de um sistema com o tempo” descreve conservação/ balanço de energia (primeira lei da termodinâmica), não conservação da massa. A equação integral da massa não contém termos de energia interna, calor, trabalho etc.
  • Alternativa b): “O balanço de momento linear do fluido” refere-se à equação de quantidade de movimento (teorema de momentum, ou forma integral das equações de Navier–Stokes quando integradas), que envolve forças, pressões e termos de impulso ( \int \rho \mathbf{v}\, dV e fluxos de momento), não a conservação da massa. Portanto essas alternativas se referem a leis físicas diferentes (energia e momento), não à equação integral da massa.

Passo 5

Resumo e conclusão didática: a forma integral da conservação da massa afirma, de forma geral, que a taxa de variação da massa dentro de um volume de controle mais o fluxo de massa através da superfície é zero. Em regime permanente a parcela temporal some e isso implica que o fluxo de massa que entra e sai se compensa — ou seja, a vazão mássica ao longo do escoamento é constante. Por isso a alternativa correta, que expressa essa consequência em regime permanente, é a alternativa c).

Resposta

c) A constância da vazão mássica em regime permanente

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