Questão 03 ( 2,0 pontos) Uma tubulação para transporte de óleo ( \mathrm{SG}=0,88 ) horizontal com 300 mm de diâmetro se estende por 8 km , conectando dois reservatórios grandes abertos de mesmo nível. Se o cisalhamento no tubo cria uma perda de carga de 3 m para cada 200 m de extensão do tubo, determine a potência real bomba com eficiência de 75 \% para produzir um escoamento de 6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a potência real da bomba, sabendo que a bomba tem eficiência de 75\% e deve produzir um escoamento de 6\\ \mathrm{m^{3}/min} numa tubulação horizontal. Informações dadas no enunciado:
  • Diâmetro da tubulação: 300\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento da tubulação: 8\\ \mathrm{km}.
  • Perda de carga por atrito: 3\\ \mathrm{m} para cada 200\\ \mathrm{m} de comprimento.
  • Densidade relativa (SG) do óleo: 0,88.
  • Vazão requerida: 6\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • Eficiência da bomba: 75\%.
Não há diferença de nível entre os reservatórios (mesmo nível), então a bomba precisa apenas vencer as perdas por atrito ao longo do tubo.

Passo 2

Converter unidades para trabalhar no SI e facilitar os cálculos:
  • Diâmetro: 300\\ \mathrm{mm} = 0,3\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento: 8\\ \mathrm{km} = 8000\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: 6\\ \mathrm{m^{3}/min} = \dfrac{6}{60}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 0,1\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal e a velocidade média do fluido (apenas para checagem e intuição):
A área da seção é dada por
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,3\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0,3)^{2}}{4} = \pi\cdot 0,0225 \approx 0,07069\\ \mathrm{m^{2}}.
A velocidade média é
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,1}{0,07069}\approx 1,414\\ \mathrm{m/s}.
Obs.: esses cálculos não são estritamente necessários para obter a potência, mas ajudam a entender a ordem de grandeza do escoamento.

Passo 4

Determinar a perda de carga total ao longo do tubo. A perda de carga é dada como 3\\ \mathrm{m} para cada 200\\ \mathrm{m}, então a perda por metro é
\frac{3}{200}=0,015\\ \mathrm{m/m}.
Para o comprimento total L=8000\\ \mathrm{m}, a perda de carga total H é
H = 0,015\times 8000 = 120\\ \mathrm{m}.
Esse H é a altura de coluna de fluido que a bomba precisa vencer (já que níveis estáticos dos reservatórios são iguais).

Passo 5

Calcular a densidade do óleo a partir do \mathrm{SG}. Por definição,
\rho = \text{SG}\times \rho_{\text{água}}.á
Tomando \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e \text{SG}=0,88:
\rho = 0,88\times 1000 = 880\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 6

Apresentar a fórmula da potência hidráulica (teórica) que a bomba deve fornecer:
A potência hidráulica é a energia por unidade de tempo necessária para elevar o fluido contra uma diferença de carga H. A expressão é
P_{\text{hid}} = \rho\, g\, Q\, H,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}), usaremos g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}},
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^{3}/s}),
  • H é a perda de carga total ( \mathrm{m}).
Essa fórmula vem do fato de que a energia potencial por volume é \rho g H e multiplicando por Q obtemos potência.

Passo 7

Calcular numericamente a potência hidráulica usando os valores encontrados: \rho=880\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}, Q=0,1\\ \mathrm{m^{3}/s}, H=120\\ \mathrm{m}.
Primeiro calculemos passo a passo:
gQ = 9,81\times 0,1 = 0,981.
gQH = 0,981\times 120 = 117,72.
P_{\text{hid}} = \rho \times (gQH) = 880\times 117,72 = 103593,6\\ \mathrm{W}.
Podemos arredondar: P_{\text{hid}}\approx 103593,6\\ \mathrm{W}\approx 103,6\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Aplicar a eficiência da bomba para obter a potência real elétrica (ou mecânica) requerida. Se a eficiência da bomba é \eta=75\%=0,75, então a potência real fornecida à bomba é
P_{\text{real}} = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta}.
Substituindo:
P_{\text{real}} = \frac{103593,6}{0,75} = 138124,8\\ \mathrm{W}.
Arredondando, P_{\text{real}}\approx 138124,8\\ \mathrm{W}\approx 138,1\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Comentário final rápido para te dar confiança: resumindo, a bomba precisa fornecer energia para vencer apenas as perdas por atrito ao longo de 8\\ \mathrm{km}, que somam 120\\ \mathrm{m} de carga. Com a densidade do óleo ( \rho=880\\ \mathrm{kg/m^{3}}) e vazão de 0,1\\ \mathrm{m^{3}/s}, a potência hidráulica é cerca de 103,6\\ \mathrm{kW}; com eficiência de 75\% a potência real da bomba sobe para cerca de 138,1\\ \mathrm{kW}. Força aí, você está indo bem!

Resposta

P_{\text{real}}=138124,8\\ \mathrm{W}\\ \approx 138,1\\ \mathrm{kW}

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