Uma linha de transmissão de 230 kV, com três condutores 477 MCM, Hawk, por fase, dispostos em feixe e espaçados de \mathbf{0 , 3 5 ~ m}, apresenta uma distância entre fases externas de \mathbf{1 5 ~ m}. A linha atravessa uma região de altitude média de \mathbf{8 0 0 ~ m} acima do nível do mar, com temperatura média anual de \mathbf{2 0}{ }^{\circ} \mathbf{C}. O fator de superfície dos condutores pode ser considerado igual a \mathbf{0 , 8 2}. Calcule:
a) O gradiente crítico visual \mathrm{E}_{\mathrm{CRV}}
b) As perdas por efeito corona em tempo bom, considerando um coeficiente de perdas igual a \mathbf{0 , 0 8}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o gradiente crítico visual \mathrm{E}_{\mathrm{CRV}}.
  2. Calcular as perdas por efeito corona em tempo bom, usando um coeficiente de perdas igual a \,0{,}08.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Tensão nominal (linha a linha)} = 230\\ \mathrm{kV},\\\ &\text{Configuração por fase: 3 condutores }477\\ \mathrm{MCM}\text{ (feixe), espaçados }0{,}35\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Distância entre fases externas} = 15\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Altitude média} = 800\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Temperatura média anual} = 20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{fator de superfície dos condutores (Peek) } m = 0{,}82,\\\ &\text{coeficiente de perdas (empírico)} = 0{,}08.\\\ \end{aligned}ãçãçâééíí

Observação importante para a geometria: como foi dada “distância entre fases externas = 15\\ \mathrm{m}” e há três fases dispostas linearmente, vou considerar que o espaçamento entre fases adjacentes é \,15/2=7{,}5\\ \mathrm{m} (valor necessário para calcular o potencial entre fases).
A partir daqui começo a resolver.

Passo 2

Primeiro item que precisamos: fator de correção de densidade do ar \delta (depende de altitude e temperatura). Vou explicar a ideia: a ionização do ar e, portanto, a tendência à corona, dependem da densidade do ar. O fator \delta corrige as fórmulas de Peek para pressão e temperatura diferentes das condições de nível do mar e 0^\circC.
Fórmula usada (padrão em problemas de linhas):
\delta = \frac{273}{273 + \theta}\cdot\frac{p}{p_0},
onde \theta é a temperatura em ^\circ\mathrm{C}, p é a pressão local (kPa) e p_0=101{,}325\\ \mathrm{kPa} a pressão ao nível do mar.
Agora preciso da pressão a 800\\ \mathrm{m}. Uma expressão prática (modelo barométrico usado em engenharia) é:
p = p_0\left(1 - 2{,}25577\times10^{-5}\,h\right)^{5{,}25588},
com h em metros. Vou aplicar isso com h=800\\ \mathrm{m}.
Cálculo passo a passo:
1 - 2{,}25577\times10^{-5}\cdot 800 = 1 - 0{,}01804616 = 0{,}98195384,
\left(0{,}98195384\right)^{5{,}25588}\approx 0{,}9087,
p \approx 101{,}325\cdot 0{,}9087 \approx 92{,}12\\ \mathrm{kPa}.
Agora \delta:
\delta = \frac{273}{273+20}\cdot\frac{92{,}12}{101{,}325} = \frac{273}{293}\cdot 0{,}9087 \approx 0{,}8468.
Interpretação curta: o ar está menos denso que ao nível do mar e isso reduz o campo crítico pela fração \delta\approx0{,}847.

Passo 3

Agora precisamos do raio físico do condutor (a partir de 477\\ \mathrm{MCM}). Vou explicar como converter MCM (circular mils) em diâmetro:
  • 1 \mathrm{MCM} = 1000 circular mils; a área em circular mils é numericamente o quadrado do diâmetro em mils.
  • Então o diâmetro em mils é \sqrt{\text{área (circular mils)}}á.
Cálculo:
\text{área} = 477\\ \mathrm{MCM} = 477000\\ \text{circular mils},á
d_{\text{mils}} = \sqrt{477000}\approx 690{,}65\\ \text{mils},
d_{\text{in}} = 0{,}69065\\ \text{in} \quad(\text{pois }1\\ \text{in} = 1000\\ \text{mils}),
d_{\text{mm}} = 0{,}69065\cdot 25{,}4 \approx 17{,}545\\ \mathrm{mm},
\text{raio físico } r = \frac{d}{2}\approx 8{,}7725\\ \mathrm{mm} = 0{,}87725\\ \mathrm{cm}.í
Comentário: aqui usei centímetros porque a fórmula de Peek que vou aplicar exige r em cm.

Passo 4

Tratamento do feixe (bundle) com três subconductores. Explico o conceito: para efeitos do campo e da coroa usamos um raio equivalente do feixe (raio equivalente geométrico) que leva em conta o raio físico e a disposição dos subconductores. Para um bundle simétrico de n subconductores com espaçamento s (distância entre subconductores), a expressão prática usada é:
r_{\text{eq}} = r\cdot s^{\frac{n-1}{n}}.
No nosso caso n=3 e s=0{,}35\\ \mathrm{m}=35\\ \mathrm{cm}. Então:
r_{\text{eq}} = r\cdot 35^{2/3}.
Cálculo:
35^{2/3}\approx 10{,}6999,
r_{\text{eq}} = 0{,}87725\cdot 10{,}6999 \approx 9{,}3876\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: o bundle “se comporta” eletricamente como um único condutor com raio efetivo \approx 9{,}39\\ \mathrm{cm} (bem maior que o raio físico do subconductor).

Passo 5

Agora apresento a fórmula de Peek para o gradiente crítico de superfície (aquela que chama “gradiente crítico visual” no enunciado). Explico a física e cada termo:
Peek (empírico) para o gradiente crítico na superfície (em \mathrm{kV/cm}) dá:
\mathrm{E}_{\mathrm{CRV}} = m\cdot \delta \cdot 21\cdot\left(1 + \frac{0{,}308}{\sqrt{r_{\text{eq}}}}\right),
onde:
  • m é o fator de irregularidade da superfície (dado 0{,}82); ele diminui o campo crítico se a superfície for rugosa.
  • \delta é o fator de densidade do ar (calculado no Passo 2).
  • 21\\ \mathrm{kV/cm} é a base empírica usada por Peek (constante experimental).
  • r_{\text{eq}} é o raio equivalente em \mathrm{cm}; a raiz aparece porque a influência das dimensões é empírica e depende de \sqrt{r}.
    Obs.: o coeficiente 0{,}308 é o valor empírico que Peek encontrou para condutores comuns.
Tudo isso gera \mathrm{E}_{\mathrm{CRV}} em \mathrm{kV/cm}. Vou aplicar a fórmula com os valores calculados.

Passo 6

Aplicando a fórmula numericamente:
Dados que já temos:
m = 0{,}82,\quad \delta = 0{,}8468,\quad r_{\text{eq}} = 9{,}3876\\ \mathrm{cm}.

Calcule o termo entre parênteses:
\sqrt{r_{\text{eq}}} = \sqrt{9{,}3876}\approx 3{,}0646,
\frac{0{,}308}{\sqrt{r_{\text{eq}}}} \approx \frac{0{,}308}{3{,}0646}\approx 0{,}10047,
1 + \frac{0{,}308}{\sqrt{r_{\text{eq}}}} \approx 1{,}10047.
Agora \mathrm{E}_{\mathrm{CRV}}:
\mathrm{E}_{\mathrm{CRV}} = 0{,}82\cdot 0{,}8468\cdot 21\cdot 1{,}10047.
Multiplicando passo a passo:
0{,}82\cdot 0{,}8468 \approx 0{,}6946,
21\cdot 1{,}10047 \approx 23{,}110,
\mathrm{E}_{\mathrm{CRV}} \approx 0{,}6946\cdot 23{,}110 \approx 16{,}055\\ \mathrm{kV/cm}.
Conversões úteis:
16{,}055\\ \mathrm{kV/cm} = 16{,}055\cdot 100\\ \mathrm{kV/m} = 1605{,}5\\ \mathrm{kV/m} = 1{,}6055\\ \mathrm{MV/m}.
Resumo numérico final, com arredondamento prático:
\mathrm{E}_{\mathrm{CRV}} \approx 16{,}06\\ \mathrm{kV/cm}\quad\big(=1{,}605\\ \mathrm{MV/m}\big).

Passo 7

Agora vamos avaliar se, com essa \mathrm{E}_{\mathrm{CRV}}, a linha opera acima da tensão de inicio de corona. Para isso precisamos do valor de tensão crítico (valor de pico) no condutor correspondente a esse gradiente — comparando com a tensão máxima instantânea do sistema.
Fórmula prática (campo radial para conductor-cylinder model): a diferença de potencial entre um condutor de raio r_{\text{eq}} e um ponto a distância D é aproximadamente
V = E_{\text{superf}}\cdot r_{\text{eq}}\cdot \ln\!\left(\frac{D}{r_{\text{eq}}}\right),
onde E_{\text{superf}} é o gradiente na superfície (em \mathrm{kV/cm}), r_{\text{eq}} em \mathrm{cm} e V em \mathrm{kV} (a unidade fica consistente porque \mathrm{kV/cm}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{kV}).
Aqui usamos D como a distância relevante entre centros de fases adjacentes. Conforme explicado no Passo 1, vamos considerar espaçamento entre fases adjacentes:
D = \frac{15}{2} = 7{,}5\\ \mathrm{m} = 750\\ \mathrm{cm}.
Cálculo de V_0 (tensão de ruptura de corona, no pico):
\ln\!\left(\frac{D}{r_{\text{eq}}}\right) = \ln\!\left(\frac{750}{9{,}3876}\right) \approx \ln(79{,}866)\approx 4{,}3829.
V_0 = 16{,}055\cdot 9{,}3876\cdot 4{,}3829 \approx 660{,}6\\ \mathrm{kV}.
Interpretação: V_0 (valor de pico que causa o gradiente crítico na superfície) é aproximadamente 660{,}6\\ \mathrm{kV}. Esse é o valor de tensão de pico entre o condutor e a referência geométrica usada — de forma prática, é muito maior do que a tensão de operação do sistema.
Agora comparar com a tensão máxima de operação (valor de pico da tensão de fase): como a tensão dada 230\\ \mathrm{kV} é linha a linha (RMS), o valor de pico fase-neutro é
V_m = \frac{230}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2} = 230\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \approx 187{,}79\\ \mathrm{kV}.
Constatação:
V_m \approx 187{,}79\\ \mathrm{kV} \quad\text{e}\quad V_0 \approx 660{,}6\\ \mathrm{kV}.
Como V_m < V_0, a tensão de pico aplicada na linha é insuficiente para alcançar o gradiente crítico na superfície dos condutores — portanto, em tempo bom (condições secas, médias) não ocorre corona contínua.

Passo 8

Agora sobre as perdas por corona: a prática empírica (e o enunciado) indicam que as perdas por corona em tempo bom são proporcionais a (V_m - V_0)^2 e utilizam um coeficiente empírico que foi dado como 0{,}08. A forma funcional usual é algo do tipo
P \propto k\cdot (V_m - V_0)^2,
onde k é o coeficiente de perdas (aqui 0{,}08) e a perda é tomada como zero se V_m \le V_0 (não há excitação para manutenção da descarga). Em palavras simples: se a tensão de pico que o sistema alcança é menor do que a tensão que provoca o campo crítico, o termo (V_m-V_0) é negativo e o modelo físico diz que não há corona — portanto as perdas são nulas.
Aplicando isso ao nosso caso:
V_m \approx 187{,}79\\ \mathrm{kV} < V_0 \approx 660{,}6\\ \mathrm{kV},
logo não há corona em tempo bom e as perdas por efeito corona, pelo modelo empírico indicado, são zero (ou desprezíveis).

Resposta

a) \mathrm{E}_{\mathrm{CRV}}\approx 16{,}06\\ \mathrm{kV/cm} (equivalente a \approx 1{,}605\\ \mathrm{MV/m}).
b) Perdas por efeito corona em tempo bom = 0\\ \mathrm{W/km} (nenhuma perda, pois V_m<V_0).

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