Calcular la presión existente sobre un recipiente que contiene 3 Kg de Etano (C2H6), cuyo volumen es de 0.07 \mathrm{~m}^{\wedge} 3 y su temperatura es de 40^{\circ} \mathrm{C}. Usar: T=273.15+t .-
La ecuación de Beattie-Bridgeman ; \mathrm{P}=\quad \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{\wedge} 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a pressão existente num recipiente que contém 3\\ \mathrm{kg} de etano ( \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6), com volume 0{,}07\\ \mathrm{m}^3 e temperatura 40^\circ\mathrm{C}. Foi indicado usar a equação de Beattie–Bridgeman e apresentar a pressão em \mathrm{kgf/cm^2}.\n
Informações dadas:
\text{massa } m = 3\\ \mathrm{kg},
\text{volume } V = 0{,}07\\ \mathrm{m}^3,
\text{temperatura } t = 40^\circ\mathrm{C} \quad\text{(usar } T = 273{,}15 + t\text{)}.

Passo 2

Antes de calcular, preciso esclarecer algo crucial sobre a equação de Beattie–Bridgeman: ela é uma equação de estado para gases reais que requer constantes específicas da substância (coeficientes experimentais ou dependentes da temperatura, normalmente fornecidos em tabelas ou em forma de parâmetros). Essas constantes são necessárias para inserir na fórmula de Beattie–Bridgeman e obter a pressão real. O enunciado não fornece esses coeficientes nem uma tabela com eles. Portanto, com os dados do enunciado apenas, não é possível aplicar numericamente a equação de Beattie–Bridgeman de forma completa e correta. Vou explicar por que e o que seria necessário.\n
O que falta: os parâmetros empíricos da equação (valores de A,B,C,\dots ou equivalentes) para o etano à temperatura dada — normalmente extraídos de livros/tabelas de propriedades termo-físicas ou de uma ficha técnica.

Passo 3

Como não podemos usar Beattie–Bridgeman sem os parâmetros, vou explicar passo a passo como procederiam num exame se esses parâmetros fossem disponibilizados, e em seguida farei uma aproximação prática usando a lei dos gases ideais (útil para estimativa). Primeiro a ideia geral com Beattie–Bridgeman (sem entrar numa forma arriscada de escrever a equação sem os parâmetros corretos):\n
  • convertemos massa para número de mols n;\n
  • calculamos o volume molar V_m = \dfrac{V}{n};\n
  • usamos a equação de estado real (Beattie–Bridgeman) colocando T em \mathrm{K} e V_m e os parâmetros da substância para obter P.\n
    Na falta desses parâmetros, a alternativa prática é usar a lei dos gases ideais para obter uma estimativa. Vou fazer essa estimativa e mostrar toda a conversão de unidades passo a passo.

Passo 4

Converter temperatura para Kelvin (a regra do enunciado):
T = 273{,}15 + t = 273{,}15 + 40 = 313{,}15\\ \mathrm{K}.
Explanação: a escala Kelvin é a escala absoluta de temperatura usada em equações de estado; somamos 273{,}15 ao valor em graus Celsius.

Passo 5

Determinar o número de mols n. Primeiro o peso molecular (massa molar) do etano \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6: carbono \approx 12{,}011\\ \mathrm{g/mol}, hidrogênio \approx 1{,}008\\ \mathrm{g/mol}. Então
M = 2\cdot 12{,}011 + 6\cdot 1{,}008 = 30{,}07\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}03007\\ \mathrm{kg/mol}.
Número de mols:
n = \frac{m}{M} = \frac{3\\ \mathrm{kg}}{0{,}03007\\ \mathrm{kg/mol}} \approx 99{,}77\\ \mathrm{mol}.
Explicação: dividimos a massa total pela massa de uma quantidade de referência (1 mol) para saber quantos mols temos.

Passo 6

Aplicar a lei dos gases ideais (aproximação) para estimativa:
\text{lei dos gases ideais:}\quad P = \frac{n R T}{V},
onde R é a constante dos gases R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Explicação: essa lei assume comportamento ideal (sem interações intermoleculares), é simples e frequentemente usada para estimativas quando não se têm parâmetros de um modelo mais preciso.

Passo 7

Calcular P em pascal ( \mathrm{Pa}):
nR = 99{,}77 \times 8{,}314462618 \approx 829{,}52\\ \mathrm{J/(K)},
nRT = 829{,}52 \times 313{,}15 \approx 259{,}763{,}1\\ \mathrm{J},
P = \frac{nRT}{V} = \frac{259{,}763{,}1}{0{,}07}\\ \mathrm{Pa} \approx 3{,}711{,}616\\ \times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Detalhes: divide-se a energia térmica nRT pelo volume para obter pressão (unidades ficam em pascal, que é N/m^2).

Passo 8

Converter a pressão de pascal para \mathrm{kgf/cm^2}. Primeiro entender a unidade: 1\\ \mathrm{kgf} é a força peso de 1\\ \mathrm{kg}, ou 9{,}80665\\ \mathrm{N}. E 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2. Então
1\\ \mathrm{kgf/cm^2} = \frac{9{,}80665\\ \mathrm{N}}{10^{-4}\\ \mathrm{m}^2} = 98{,}066{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Assim a conversão é
P\\ (\mathrm{kgf/cm^2}) = \frac{P\\ (\mathrm{Pa})}{98{,}066{,}5}.
Aplicando:
P = \frac{3{,}711{,}616\\ \mathrm{Pa}}{98{,}066{,}5} \approx 37{,}85\\ \mathrm{kgf/cm^2}.

Passo 9

Interpretação e observação final (importante para a prova):\n
  • O valor obtido \approx 37{,}85\\ \mathrm{kgf/cm^2} é uma estimativa usando o gás ideal. Para pressões e volumes onde o gás está bastante comprimido (como aqui, nota-se que a pressão ficou relativamente alta), efeitos não ideais podem ser importantes. Nesse caso seria mesmo necessário usar a equação de Beattie–Bridgeman com os parâmetros do etano para obter um resultado mais preciso.\n
  • No exame, se pedirem usar Beattie–Bridgeman, verifique se a tabela de parâmetros ou constantes da substância está disponível no enunciado ou em apostila; sem essa tabela não é possível calcular numericamente com Beattie–Bridgeman.\n
  • Dica prática: sempre converta unidades (massa para mols, temperatura para K, volume em m^3) e deixe claro cada passo; se tiver os parâmetros da equação real, calcula-se V_m e substitui-se na fórmula dada.

Resposta

37{,}85\\ \mathrm{kgf/cm^2}

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