Uma máquina térmica de Carnot trabalha com uma fonte fria à temperatura TF e uma fonte quente à temperatura TQ. Qual das providências abaixo proporciona o maior aumento de eficiência? O valor de \Delta T é o mesmo em todos os casos.
A) Aumentar de \Delta \mathrm{T} a temperatura da fonte quente
B) Aumentar de \Delta \mathrm{T} a temperatura da fonte fria
C) Diminuir de \Delta \mathrm{T} a temperatura da fonte quente
D) Diminuir de \Delta \mathrm{T} a temperatura da fonte fria
E) Aumentar de \Delta T / 2 a temperatura da fonte quente e diminuir de \Delta T / 2 a temperatura da fonte fria

Passo 1

O enunciado dá uma máquina de Carnot com temperaturas da fonte fria e quente, respectivamente \,T_F e \,T_Q (assume‑se \,T_F<T_Q). Pede: entre as cinco providências listadas (cada uma mudando temperaturas em uma quantidade \,\Delta T ou \,\Delta T/2), qual proporciona o maior aumento da eficiência. O valor de \,\Delta T é o mesmo em todos os casos.
Informações relevantes fornecidas:
  • Temperaturas iniciais: \,T_F (fonte fria) e \,T_Q (fonte quente).
  • Cada alternativa modifica \,T_F e/ou \,T_Q por \,\Delta T (ou \,\Delta T/2 no caso E).
  • Queremos comparar o aumento da eficiência em cada caso.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (eficiência de Carnot):
\eta \;=\; 1 - \frac{T_F}{T_Q}.
Explicando a fórmula: \eta é a eficiência térmica máxima entre duas reservas térmicas; \,T_F é a temperatura da fonte fria em kelvin e \,T_Q a temperatura da fonte quente em kelvin. A razão \dfrac{T_F}{T_Q} é adimensional; quanto menor ela for, maior é a eficiência.

Passo 3

Eficiência inicial (antes de qualquer alteração):
\eta_0 \;=\; 1 - \frac{T_F}{T_Q}.

Passo 4

Alternativa A — aumentar a temperatura da fonte quente em \,\Delta T: \,T_Q \to T_Q + \Delta T.
Nova eficiência:
\eta_A \;=\; 1 - \frac{T_F}{T_Q + \Delta T}.
Aumento da eficiência:
\Delta\eta_A \;=\; \eta_A - \eta_0 = \frac{T_F}{T_Q} - \frac{T_F}{T_Q+\Delta T} = \frac{T_F\Delta T}{T_Q\,(T_Q+\Delta T)}.
Observação: \Delta\eta_A>0 (positivo), pois elevar \,T_Q reduz o termo \dfrac{T_F}{T_Q}.

Passo 5

Alternativa B — aumentar a temperatura da fonte fria em \,\Delta T: \,T_F \to T_F + \Delta T.
Nova eficiência:
\eta_B \;=\; 1 - \frac{T_F+\Delta T}{T_Q}.
Aumento da eficiência:
\Delta\eta_B \;=\; \eta_B - \eta_0 = -\frac{\Delta T}{T_Q}.
Observação: \Delta\eta_B<0 (a eficiência diminui), aumentar a temperatura fria reduz eficiência.

Passo 6

Alternativa C — diminuir a temperatura da fonte quente em \,\Delta T: \,T_Q \to T_Q - \Delta T.
Nova eficiência:
\eta_C \;=\; 1 - \frac{T_F}{T_Q - \Delta T}.
Aumento da eficiência:
\Delta\eta_C \;=\; \eta_C - \eta_0 = \frac{T_F}{T_Q} - \frac{T_F}{T_Q-\Delta T} = -\,\frac{T_F\Delta T}{T_Q\,(T_Q-\Delta T)}.
Observação: \Delta\eta_C<0 (a eficiência diminui), afinal reduzir \,T_Q torna a eficiência pior. (Nota: supondo \Delta T<T_Q para manter temperaturas físicas.)

Passo 7

Alternativa D — diminuir a temperatura da fonte fria em \,\Delta T: \,T_F \to T_F - \Delta T.
Nova eficiência:
\eta_D \;=\; 1 - \frac{T_F - \Delta T}{T_Q}.
Aumento da eficiência:
\Delta\eta_D \;=\; \eta_D - \eta_0 = \frac{\Delta T}{T_Q}.
Observação: \Delta\eta_D>0 (positivo). Diminuir a temperatura fria aumenta a eficiência proporcionalmente a \dfrac{\Delta T}{T_Q}.

Passo 8

Alternativa E — aumentar \,T_Q em \,\Delta T/2 e diminuir \,T_F em \,\Delta T/2: \,T_Q \to T_Q+\tfrac{\Delta T}{2}, \,T_F \to T_F-\tfrac{\Delta T}{2}.
Nova eficiência:
\eta_E \;=\; 1 - \frac{T_F - \tfrac{\Delta T}{2}}{T_Q + \tfrac{\Delta T}{2}}.
Aumento da eficiência (cálculo passo a passo):
\Delta\eta_E = \frac{T_F}{T_Q} - \frac{T_F - \tfrac{\Delta T}{2}}{T_Q + \tfrac{\Delta T}{2}} = \frac{\tfrac{\Delta T}{2}\,(T_F+T_Q)}{T_Q\,(T_Q + \tfrac{\Delta T}{2})}.

Passo 9

Comparação entre as variações positivas:
  • Temos \Delta\eta_A = \dfrac{T_F\Delta T}{T_Q\,(T_Q+\Delta T)}.
  • Temos \Delta\eta_D = \dfrac{\Delta T}{T_Q}.
    Compare D com A:
\Delta\eta_D - \Delta\eta_A = \frac{\Delta T}{T_Q} - \frac{T_F\Delta T}{T_Q\,(T_Q+\Delta T)} = \frac{\Delta T}{T_Q}\left(1 - \frac{T_F}{T_Q+\Delta T}\right).
Como T_Q+\Delta T > T_F (porque T_Q>T_F), o fator entre parênteses é positivo, logo \Delta\eta_D > \Delta\eta_A. Portanto a opção D aumenta mais que A.

Passo 10

Compare D com E:
\frac{\Delta\eta_E}{\Delta\eta_D} = \frac{\dfrac{\Delta T}{2}\dfrac{T_F+T_Q}{T_Q\,(T_Q+\tfrac{\Delta T}{2})}}{\dfrac{\Delta T}{T_Q}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{T_F+T_Q}{T_Q+\tfrac{\Delta T}{2}}.
Como T_F<T_Q temos \dfrac{T_F+T_Q}{2}<T_Q, e portanto
\frac{1}{2}\cdot\frac{T_F+T_Q}{T_Q+\tfrac{\Delta T}{2}} < \frac{T_Q}{T_Q+\tfrac{\Delta T}{2}} < 1.
Logo \Delta\eta_E < \Delta\eta_D. Assim a alternativa D também vence a alternativa E.

Passo 11

Resumo das conclusões:
  • Alternativas que aumentam a eficiência: A, D, E (A e E aumentam; D aumenta).
  • Alternativas que diminuem a eficiência: B, C.
  • Entre as que aumentam, a alternativa D ( T_F\to T_F-\Delta T) fornece o maior aumento, pois \Delta\eta_D = \dfrac{\Delta T}{T_Q} é maior que \Delta\eta_A e que \Delta\eta_E para qualquer T_F<T_Q.

Resposta

D)

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