Uma máquina térmica de Carnot trabalha com uma fonte fria à temperatura TF e uma fonte quente à temperatura TQ. Qual das providências abaixo proporciona o maior aumento de eficiência? O valor de
é o mesmo em todos os casos.
A) Aumentar de
a temperatura da fonte quente
B) Aumentar de
a temperatura da fonte fria
C) Diminuir de
a temperatura da fonte quente
D) Diminuir de
a temperatura da fonte fria
E) Aumentar de
a temperatura da fonte quente e diminuir de
a temperatura da fonte fria
A) Aumentar de
B) Aumentar de
C) Diminuir de
D) Diminuir de
E) Aumentar de
Passo 1
O enunciado dá uma máquina de Carnot com temperaturas da fonte fria e quente, respectivamente
e
(assume‑se
). Pede: entre as cinco providências listadas (cada uma mudando temperaturas em uma quantidade
ou
), qual proporciona o maior aumento da eficiência. O valor de
é o mesmo em todos os casos.
Informações relevantes fornecidas:
- Temperaturas iniciais:
(fonte fria) e (fonte quente). - Cada alternativa modifica
e/ou por (ou no caso E). - Queremos comparar o aumento da eficiência em cada caso.
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar (eficiência de Carnot):
Explicando a fórmula:
é a eficiência térmica máxima entre duas reservas térmicas;
é a temperatura da fonte fria em kelvin e
a temperatura da fonte quente em kelvin. A razão
é adimensional; quanto menor ela for, maior é a eficiência.
Passo 3
Eficiência inicial (antes de qualquer alteração):
Passo 4
Alternativa A — aumentar a temperatura da fonte quente em
:
.
Nova eficiência:
Nova eficiência:
Aumento da eficiência:
Observação:
(positivo), pois elevar
reduz o termo
.
Passo 5
Alternativa B — aumentar a temperatura da fonte fria em
:
.
Nova eficiência:
Nova eficiência:
Aumento da eficiência:
Observação:
(a eficiência diminui), aumentar a temperatura fria reduz eficiência.
Passo 6
Alternativa C — diminuir a temperatura da fonte quente em
:
.
Nova eficiência:
Nova eficiência:
Aumento da eficiência:
Observação:
(a eficiência diminui), afinal reduzir
torna a eficiência pior. (Nota: supondo
para manter temperaturas físicas.)
Passo 7
Alternativa D — diminuir a temperatura da fonte fria em
:
.
Nova eficiência:
Nova eficiência:
Aumento da eficiência:
Observação:
(positivo). Diminuir a temperatura fria aumenta a eficiência proporcionalmente a
.
Passo 8
Alternativa E — aumentar
em
e diminuir
em
:
,
.
Nova eficiência:
Nova eficiência:
Aumento da eficiência (cálculo passo a passo):
Passo 9
Comparação entre as variações positivas:
- Temos
. - Temos
.
Comparecom :
Como
(porque
), o fator entre parênteses é positivo, logo
. Portanto a opção D aumenta mais que A.
Passo 10
Compare
com
:
Como
temos
, e portanto
Logo
. Assim a alternativa D também vence a alternativa E.
Passo 11
Resumo das conclusões:
- Alternativas que aumentam a eficiência: A, D, E (A e E aumentam; D aumenta).
- Alternativas que diminuem a eficiência: B, C.
- Entre as que aumentam, a alternativa D (
) fornece o maior aumento, pois é maior que e que para qualquer .
Resposta
D)