Se \mathbf{P}=2 \operatorname{sen}(10 t+x-\pi / 4) \mathbf{a}_{y} e \mathbf{Q}_{s}=e^{j x}\left(\mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{z}\right) \operatorname{sen} \pi y, determine a forma fasorial de \mathbf{P} e a forma instantânea de \mathbf{Q}_{s}.
Resposta: 2 e^{j(x-3 \pi / 4)} \mathbf{a}_{y}, \operatorname{sen} \pi y \cos (\omega t+x)\left(\mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{z}\right).

Passo 1

O enunciado fornece o vetor
\mathbf{P}(t)=2\,\operatorname{sen}(10\,t+x-\pi/4)\,\mathbf{a}_{y}
e o fasor
\mathbf{Q}_{s}=e^{j x}(\mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{z})\,\operatorname{sen}\pi y
e pede (a) o fasor correspondente a \mathbf{P}(t) e (b) a forma instantânea de \mathbf{Q}_{s}. O conteúdo principal é a conversão entre forma senoidal no domínio do tempo e forma fasorial, e vice-versa.

Passo 2

Para obter o fasor de \mathbf{P}(t), usamos a identidade
\operatorname{sen}\theta = \cos\bigl(\theta - \tfrac{\pi}{2}\bigr).
Assim,
\mathbf{P}(t) =2\cos\bigl(10\,t + x - \tfrac{\pi}{4} - \tfrac{\pi}{2}\bigr)\,\mathbf{a}_{y} =2\cos\bigl(10\,t + x - \tfrac{3\pi}{4}\bigr)\,\mathbf{a}_{y}.
O fasor associado (usando a referência \cos(\omega t)) é
\widetilde{\mathbf{P}} =2\,e^{j\bigl(x-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)}\,\mathbf{a}_{y}.

Passo 3

Para achar a forma instantânea de \mathbf{Q}_{s}, interpretamos \mathbf{Q}_{s} como um fasor que gira com frequência \omega. Então
\mathbf{Q}(t) =\Re\{\mathbf{Q}_{s}\,e^{j\omega t}\} =\operatorname{sen}\pi y\;\Re\{e^{j x}e^{j\omega t}\}\,(\mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{z}) =\operatorname{sen}\pi y\;\cos(\omega t + x)\,(\mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{z}).

Resposta

2\,e^{j(x-3\pi/4)}\,\mathbf{a}_{y}
\operatorname{sen}\pi y\;\cos(\omega t + x)\,(\mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{z})

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