Determine o valor dos números complexos:
6 \angle 30^{\circ}+j 5-3+e^{j 45^{\circ}}

Passo 1

O enunciado pede a soma de quatro números complexos em representações diversas:
6\angle 30^\circ,\quad j5,\quad -3,\quad e^{j45^\circ}.
O conteúdo aqui é adição de números complexos, para o que vamos converter tudo para forma retangular (a+jb) e depois somar as partes real e imaginária.

Passo 2

Converter cada termo para forma retangular:
  1. 6\angle 30^\circ = 6\bigl(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ\bigr). Como \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2} e \sin30^\circ=\tfrac12,
6\angle 30^\circ = 6\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2} + j\tfrac12\Bigr) = 3\sqrt3 + j3.
  1. j5 já está em forma retangular:
j5 = 0 + j5.
  1. -3 é real:
-3 = -3 + j0.
  1. e^{j45^\circ} = \cos45^\circ + j\sin45^\circ. Como \cos45^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},
e^{j45^\circ} = \tfrac{\sqrt2}{2} + j\,\tfrac{\sqrt2}{2}.

Passo 3

Somar todas as partes reais e todas as partes imaginárias:
Parte real:
3\sqrt3 + 0 - 3 + \tfrac{\sqrt2}{2} = 3\sqrt3 - 3 + \tfrac{\sqrt2}{2}.
Parte imag:
3 + 5 + 0 + \tfrac{\sqrt2}{2} = 8 + \tfrac{\sqrt2}{2}.
Logo, na forma retangular,
z = \bigl(3\sqrt3 - 3 + \tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) + j\bigl(8 + \tfrac{\sqrt2}{2}\bigr).

Passo 4

Se quisermos experimentar a forma polar, calculamos magnitude e ângulo. Numericamente,
\Re(z)\approx 2,903,\quad \Im(z)\approx 8,707,
|z| = \sqrt{2{,}903^2 + 8{,}707^2}\approx 9{,}18, \quad \arg(z) = \arctan\!\Bigl(\tfrac{8{,}707}{2{,}903}\Bigr)\approx 71{,}6^\circ.

Resposta

Forma retangular:
z = \bigl(3\sqrt3 - 3 + \tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) + j\bigl(8 + \tfrac{\sqrt2}{2}\bigr).
Forma polar (aprox.):
z \approx 9{,}18\angle 71{,}6^\circ.

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