Meio mol de hélio é expandido isotermicamente de 4 L para 12 \mathrm{La} 27^{\circ} \mathrm{C}. Calcule as pressões inicial e final do gás (1,0)
Dado: \mathrm{R}=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede (sem pular nada):
  • Dados fornecidos:
    • quantidade de matéria: n = 0,5\\ \mathrm{mol} (meio mol).
    • volume inicial: V_1 = 4\\ \mathrm{L}.
    • volume final: V_2 = 12\\ \mathrm{L}.
    • temperatura: 27^\circ\mathrm{C}.
    • constante dos gases: R = 8,31\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
  • O enunciado pede: calcular a pressão inicial P_1 e a pressão final P_2 do gás, supondo expansão isotérmica (ou seja, temperatura constante).
  • Observação útil: para usar R na unidade dada ( \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1}), a pressão deve ficar em pascal ( \mathrm{Pa}) e o volume em metros cúbicos ( \mathrm{m}^3). Vou converter unidades no próximo passo.

Passo 2

Conversão de temperatura e volumes (passo obrigatório para manter unidades compatíveis):
  • Converter temperatura de Celsius para Kelvin: T = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}.
  • Converter volumes de litros para metros cúbicos ( 1\\ \mathrm{L} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3): V_1 = 4\\ \mathrm{L} = 4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3, \qquad V_2 = 12\\ \mathrm{L} = 12\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Apresentar a lei dos gases ideais e explicar o que cada símbolo significa:
  • A lei dos gases ideais é PV = nRT.Aqui:
    • P é a pressão do gás (em \mathrm{Pa} se usarmos R em \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1}).
    • V é o volume (em \mathrm{m}^3).
    • n é o número de mols (em \mathrm{mol}).
    • R é a constante dos gases ( 8,31\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1}).
    • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • Como o processo é isotérmico, T é constante, então para cada estado vale P_iV_i=nRT. Assim basta calcular P_1=\dfrac{nRT}{V_1} e P_2=\dfrac{nRT}{V_2}.
  • Observação prática: como nRT é o mesmo nos dois estados, tem-se também P_2 = P_1\cdot\dfrac{V_1}{V_2} (isso é útil para checar cálculo).

Passo 4

Calcular primeiro o produto comum nRT (faça isso na prova para evitar repetições):
nRT = 0,5 \times 8,31 \times 300.
Vamos calcular etapa a etapa:
0,5 \times 8,31 = 4,155,
4,155 \times 300 = 1246,5\\ \mathrm{J} = 1246,5\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3
(lembrando que 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3). Esse é o numerador comum.

Passo 5

Calcular a pressão inicial P_1:
P_1=\frac{nRT}{V_1}=\frac{1246,5}{4\times10^{-3}}\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo a divisão:
P_1=\frac{1246,5}{0,004}=311625\\ \mathrm{Pa}.
Apresentando em notação mais compacta e em outras unidades úteis:
P_1=3,11625\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\approx 3,12\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P_1\approx 311,6\\ \mathrm{kPa},
P_1\approx\frac{311625}{101325}\\ \mathrm{atm}\approx 3,08\\ \mathrm{atm}.

Passo 6

Calcular a pressão final P_2. Usando diretamente a lei dos gases:
P_2=\frac{nRT}{V_2}=\frac{1246,5}{12\times10^{-3}}\\ \mathrm{Pa}=\frac{1246,5}{0,012}=103875\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando e mostrando em outras unidades:
P_2=1,03875\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\approx 1,04\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P_2\approx 103,9\\ \mathrm{kPa},
P_2\approx\frac{103875}{101325}\\ \mathrm{atm}\approx 1,03\\ \mathrm{atm}.
Checagem rápida (usando P_2 = P_1\cdot V_1/V_2): como V_2 = 3V_1, espera-se P_2 = P_1/3. De fato 311625/3 = 103875\\ \mathrm{Pa}, bate certinho — ótimo sinal de que os cálculos estão corretos.

Passo 7

Resumo final e dica de prova (para te acalmar): sempre converta unidades antes de aplicar PV=nRT. Fazer o nRT primeiro evita erro e economiza tempo; verificar relação \,P_1V_1=P_2V_2 é uma boa checagem rápida.

Resposta

P_1 = 3,12\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (≈ 311,6\\ \mathrm{kPa}, ≈ 3,08\\ \mathrm{atm})
P_2 = 1,04\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (≈ 103,9\\ \mathrm{kPa}, ≈ 1,03\\ \mathrm{atm})

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