Em um tubo aberto ocorre uma grande compressão em um gás que torna o volume ocupado por ele 10 vezes menor. Sendo a temperatura inicial igual a
, qual será a temperatura final?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- O volume ocupado pelo gás fica 10 vezes menor. Em símbolos:
. - A temperatura inicial é
. - A pergunta é: qual será a temperatura final do gás?
Passo 2
Vamos esclarecer o que significa “qual será a temperatura final” no contexto físico. O enunciado não diz explicitamente que tipo de processo (isotérmico, isobárico, adiabático, etc.) ocorreu, então preciso escolher o modelo mais plausível para resolver. Uma compressão “grande” e rápida numa tubulação costuma ser aproximadamente adiabática (ou seja, ocorre com pouca troca de calor com o ambiente), porque não há tempo suficiente para o calor sair/entrar. Vou, portanto, assumir que a compressão é adiabática e reversível de um gás ideal — essa é a hipótese mais comum em exercícios assim. Se o processo fosse outro (por exemplo, isotérmico), o resultado seria diferente; no final eu explico rapidamente essa alternativa.
Passo 3
Apresentando a relação adiabática e por que ela vale para um gás ideal:
- Para uma transformação adiabática e reversível de um gás ideal vale a relação
onde
é a pressão,
o volume e
é a razão entre capacidades térmicas molares a pressão e volume constantes:
.
- Usando a equação dos gases ideais
(onde é o número de mols, a constante universal dos gases e a temperatura absoluta em kelvin), podemos eliminar e obter uma relação direta entre e . Substituindo em constante e simplificando, chega-se à forma
Explicação das variáveis:
-
é a temperatura absoluta em kelvin ( ). -
é o volume. -
depende do tipo de gás (monatomicidade, etc.).
Essa última relação significa que, para uma transformação adiabática reversível entre os estados inicial e final,
Dessa igualdade isolamos
:
Passo 4
Escolha de
. O ar (gás mais comum nos exercícios) é, à temperatura ambiente, aproximadamente um gás diatômico. Para gases diatômicos ideais sem modos vibracionais excitados toma-se
Vou usar
. Se o gás fosse monoatômico,
seria
, e o resultado seria diferente — comentarei isso no final.
Passo 5
Converta a temperatura inicial para kelvin (porque as fórmulas termodinâmicas usam temperatura absoluta):
(Estou usando a aproximação usual
.)
Passo 6
Agora aplique a fórmula encontrada. Como
, temos
. Usando
:
Calcule
. Uma aproximação conhecida é
. Portanto
Passo 7
Converta o resultado para graus Celsius (se quiser a resposta em
):
Observação rápida de interpretação e alternativas: o valor é muito alto porque a compressão adiabática aquece o gás. Se, em vez disso, a compressão fosse isotérmica (temperatura mantida constante por troca de calor com o ambiente), a temperatura final seria
— mas aí haveria troca de calor com o ambiente durante a compressão. Se a pergunta não permitir assumir adiabaticidade, seria necessário mais informação. Como o enunciado fala em “grande compressão” e não menciona trocas de calor, a suposição adiabática é a mais razoável para um exercício típico.