Em um tubo aberto ocorre uma grande compressão em um gás que torna o volume ocupado por ele 10 vezes menor. Sendo a temperatura inicial igual a 20^{\circ} \mathrm{C}, qual será a temperatura final? (1,0)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • O volume ocupado pelo gás fica 10 vezes menor. Em símbolos: V_f = \dfrac{V_i}{10}.
  • A temperatura inicial é 20^\circ\mathrm{C}.
  • A pergunta é: qual será a temperatura final do gás?

Passo 2

Vamos esclarecer o que significa “qual será a temperatura final” no contexto físico. O enunciado não diz explicitamente que tipo de processo (isotérmico, isobárico, adiabático, etc.) ocorreu, então preciso escolher o modelo mais plausível para resolver. Uma compressão “grande” e rápida numa tubulação costuma ser aproximadamente adiabática (ou seja, ocorre com pouca troca de calor com o ambiente), porque não há tempo suficiente para o calor sair/entrar. Vou, portanto, assumir que a compressão é adiabática e reversível de um gás ideal — essa é a hipótese mais comum em exercícios assim. Se o processo fosse outro (por exemplo, isotérmico), o resultado seria diferente; no final eu explico rapidamente essa alternativa.

Passo 3

Apresentando a relação adiabática e por que ela vale para um gás ideal:
  • Para uma transformação adiabática e reversível de um gás ideal vale a relação
P V^{\gamma}=\text{constante},
onde P é a pressão, V o volume e \gamma é a razão entre capacidades térmicas molares a pressão e volume constantes: \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}.
  • Usando a equação dos gases ideais P V=n R T (onde n é o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta em kelvin), podemos eliminar P e obter uma relação direta entre T e V. Substituindo P=nRT/V em P V^{\gamma}= constante e simplificando, chega-se à forma
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Explicação das variáveis:
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
  • V é o volume.
  • \gamma depende do tipo de gás (monatomicidade, etc.).
Essa última relação significa que, para uma transformação adiabática reversível entre os estados inicial e final,
T_i V_i^{\gamma-1}=T_f V_f^{\gamma-1}.
Dessa igualdade isolamos T_f:
T_f = T_i \left(\dfrac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.

Passo 4

Escolha de \gamma. O ar (gás mais comum nos exercícios) é, à temperatura ambiente, aproximadamente um gás diatômico. Para gases diatômicos ideais sem modos vibracionais excitados toma-se
\gamma \approx 1{,}4.
Vou usar \gamma=1{,}4. Se o gás fosse monoatômico, \gamma seria 5/3\approx1{,}667, e o resultado seria diferente — comentarei isso no final.

Passo 5

Converta a temperatura inicial para kelvin (porque as fórmulas termodinâmicas usam temperatura absoluta):
T_i = 20^\circ\mathrm{C} = 20 + 273 = 293\\ \mathrm{K}.
(Estou usando a aproximação usual 0^\circ\mathrm{C}=273\\ \mathrm{K}.)

Passo 6

Agora aplique a fórmula encontrada. Como V_f = V_i/10, temos \dfrac{V_i}{V_f}=10. Usando \gamma=1{,}4:
T_f = T_i \left(\dfrac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1} = 293\\ \mathrm{K}\times 10^{\gamma-1} = 293\\ \mathrm{K}\times 10^{1{,}4-1} = 293\\ \mathrm{K}\times 10^{0{,}4}.
Calcule 10^{0{,}4}. Uma aproximação conhecida é 10^{0{,}4}\approx 2{,}5119. Portanto
T_f \approx 293\times 2{,}5119 \approx 735{,}98\\ \mathrm{K}\approx 736\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Converta o resultado para graus Celsius (se quiser a resposta em ^{\circ}\mathrm{C}):
T_f(^{\circ}\mathrm{C}) = T_f(\mathrm{K}) - 273 \approx 736 - 273 = 463^\circ\mathrm{C}.
Observação rápida de interpretação e alternativas: o valor é muito alto porque a compressão adiabática aquece o gás. Se, em vez disso, a compressão fosse isotérmica (temperatura mantida constante por troca de calor com o ambiente), a temperatura final seria 20^\circ\mathrm{C} — mas aí haveria troca de calor com o ambiente durante a compressão. Se a pergunta não permitir assumir adiabaticidade, seria necessário mais informação. Como o enunciado fala em “grande compressão” e não menciona trocas de calor, a suposição adiabática é a mais razoável para um exercício típico.

Resposta

T_f \approx 736\\ \mathrm{K} \approx 463^\circ\mathrm{C}

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