Um cilindro dotado de um êmbolo móvel, sem peso significativo, contém um gás perfeito. A pressão ambiente é constante. Quando a temperatura é de 30^{\circ} \mathrm{C} o êmbolo encontra-se a 40 cm de distância do fundo do cilindro. Qual será o valor desta distância, quando a temperatura for 150^{\circ} \mathrm{C} ? (2,0)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Há um cilindro com um êmbolo móvel (sem peso significativo) que contém um gás perfeito.
  • A pressão ambiente é constante (portanto a pressão do gás se mantém igual à pressão externa).
  • Quando a temperatura é de 30^{\circ}\mathrm{C} o êmbolo está a 40\\ \mathrm{cm} do fundo do cilindro.
  • Pergunta: qual será a distância do êmbolo ao fundo quando a temperatura for 150^{\circ}\mathrm{C}?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Distância inicial L_1 = 40\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura inicial T_1 = 30^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura final T_2 = 150^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pressão é constante durante o processo.
  • O êmbolo sem peso indica que não há força adicional que altere a pressão de equilíbrio (logo podemos tratar como processo isobárico).

Passo 2

Conceito fundamental: lei dos gases ideais e consequência para processos isobáricos.
A lei dos gases ideais é
PV = nRT,
onde:
  • P é a pressão do gás,
  • V é o volume ocupado pelo gás,
  • n é a quantidade de substância (mols) do gás,
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
Explicando com calma: essa fórmula diz que, para uma quantidade fixa de gás ( n constante), o produto PV é proporcional à temperatura T. Se a pressão P se mantém constante (processo isobárico), então o volume V é diretamente proporcional à temperatura absoluta T. Essa relação é frequentemente escrita na forma:
\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2},
que é o que usaremos aqui.
Observação importante sobre temperaturas: a proporcionalidade exige usar a temperatura em kelvin. A conversão é
T_{\mathrm{K}} = T_{^\circ\mathrm{C}} + 273{,}15.

Passo 3

Relação entre volume e deslocamento do êmbolo.
O volume do gás no cilindro depende do deslocamento L do êmbolo e da área da seção transversal A do cilindro:
V = A\cdot L.
Como a área A é constante, a variação do volume é diretamente proporcional à variação do comprimento L. Portanto podemos substituir V por L na relação de proporcionalidade de Charles, obtendo:
\frac{L_1}{T_1}=\frac{L_2}{T_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{L_2}{L_1}=\frac{T_2}{T_1}.
Isto significa que o novo deslocamento L_2 é L_1 multiplicado pela razão das temperaturas absolutas.

Passo 4

Aplicar números e calcular.
Primeiro converter as temperaturas para kelvin:
T_1 = 30^{\circ}\mathrm{C}+273{,}15 = 303{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 150^{\circ}\mathrm{C}+273{,}15 = 423{,}15\\ \mathrm{K}.
Usando a relação \dfrac{L_2}{L_1}=\dfrac{T_2}{T_1}, temos
L_2 = L_1\cdot\frac{T_2}{T_1} = 40\\ \mathrm{cm}\cdot\frac{423{,}15}{303{,}15}.
Calculemos a razão:
\frac{423{,}15}{303{,}15}\approx 1{,}39584.
Multiplicando:
L_2 \approx 40\\ \mathrm{cm}\times 1{,}39584 \approx 55{,}83\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Interpretação física e verificação rápida: a temperatura aumentou, a pressão manteve-se constante, logo o volume (e consequentemente o deslocamento do êmbolo) aumentaram. O resultado numérico L_2\approx 55{,}83\\ \mathrm{cm} faz sentido físico (aumentou de 40 para cerca de 56\\ \mathrm{cm}).

Resposta

55{,}83\\ \mathrm{cm}

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