1. Uma mistura contém n-pentano e n-hexano em frações molares iguais.
    a) Calcule as pressões de bolha e de orvalho na temperatura de 55^{\circ} \mathrm{C}. Determine também as frações molares para cada caso.
    b) Determine as temperaturas nos pontos de bolha e de orvalho na pressão de 152 kPa . Calcule também as frações molares para cada caso (bolha e orvalho).
    c) Considerando agora que 75 \% da mistura esteja na fase vapor, enquanto a temperatura é de 55^{\circ} \mathrm{C}, determine a pressão e as composições das duas fases (problema do flash).

Passo 1

O enunciado dá uma mistura binária de n-pentano e n-hexano com frações molares iguais na mistura total, isto é \;z_{\text{pent}}=z_{\text{hex}}=0,5. Pede-se:
  • (a) Na temperatura \;55^\circ\mathrm{C}: calcular as pressões de bolha e de orvalho e as frações molares correspondentes nas fases (liquido e vapor).
  • (b) Na pressão \;152\\ \mathrm{kPa}: calcular as temperaturas de bolha e de orvalho e as frações molares correspondentes em cada caso.
  • (c) Problema de flash: à temperatura \;55^\circ\mathrm{C} e sabendo que a fração molar na fase vapor é \;V=0,75, determinar a pressão de equilíbrio e as composições das duas fases.
Informações / dados que vou usar (Antoine + conversões):
  • Vou usar a equação de Antoine na forma log10 P^{\text{sat}} = A - \dfrac{B}{C+T} com P^{\text{sat}} em mmHg e T em ^\circ\mathrm{C}.
  • Constantes (típicas/consultadas para uso em problemas):
    n-pentano: A=6{,}85223,\; B=1064{,}84,\; C=233{,}42 (mmHg).
    n-hexano: A=6{,}87630,\; B=1171{,}53,\; C=224{,}00 (mmHg).
  • Conversão: 1\\ \mathrm{mmHg}=0{,}133322\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressões de saturação serão calculadas com a Antoine acima e convertidas para kPa.
  • Usarei a lei de Raoult para mistura ideal: \;P=\sum_i x_i P_i^{\text{sat}}(T) (ponto de bolha) e para ponto de orvalho a relação \;\dfrac{1}{P}=\sum_i \dfrac{y_i}{P_i^{\text{sat}}(T)}.
  • Para o flash usarei as relações de balanço e a fórmula derivada abaixo para encontrar a pressão dada V.
Nenhuma outra informação (figura/tabela) foi necessária — as constantes Antoine acima são assumidas apropriadas para a resolução.

Passo 2

Explicando as ferramentas que usaremos (aulas curtas):
  • Equação de Antoine: é uma fórmula empírica que dá a pressão de vapor saturado de uma substância em função da temperatura. As constantes A,B,C dependem da substância e da unidade escolhida. Aqui usamos mmHg e ^\circ\mathrm{C}. O procedimento é:
\log_{10} P^{\text{sat}}(T) = A - \frac{B}{C+T}.
Após calcular P^{\text{sat}} em mmHg convertemos para kPa multiplicando por 0{,}133322.
  • Lei de Raoult (mistura ideal): cada componente no vapor contribui proporcionalmente à sua fração molar na fase líquida multiplicada pela pressão de vapor do componente:
P = \sum_i x_i P_i^{\text{sat}}(T).
No ponto de bolha, a fase líquida começa a vaporizar; as x_i são as frações molares no líquido conhecido (aqui iguais a z_i se a mistura líquida inicial for dada).
  • Ponto de orvalho: é a pressão em que o vapor começa a condensar; se conhecemos as frações molares do vapor y_i, a pressão de orvalho P satisfaz
\frac{1}{P} = \sum_i \frac{y_i}{P_i^{\text{sat}}(T)}.
  • Flash (equilíbrio líquido-vapor com fração vapor V conhecida): adotando K_i=\dfrac{y_i}{x_i}=\dfrac{P_i^{\text{sat}}}{P}, da conservação material (balanços molares) obtemos
x_i = \frac{z_i}{1 + V(K_i -1)}.
A condição de normalização \sum_i x_i = 1 dá uma equação para achar P (porque K_i depende de P). Para binária com z_i conhecidos e V dado, a equação a resolver é
\sum_i \frac{z_i}{1 + V\!\left(\dfrac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P}-1\right)} = 1.
Vou aplicar tudo isso passo a passo com contas explícitas.

Passo 3

Calcular as pressões de vapor saturado \,P^{\text{sat}} a T=55^\circ\mathrm{C} usando Antoine e converter para kPa.
Para n-pentano:
\log_{10} P^{\text{sat}}_{\text{pent}} = 6{,}85223 - \frac{1064{,}84}{233{,}42+55} .
Calculemos o denominador 233{,}42+55=288{,}42. Então
\frac{1064{,}84}{288{,}42}=3{,}692\quad\Rightarrow\quad \log_{10} P^{\text{sat}}_{\text{pent}}=6{,}85223-3{,}692=3{,}16023.
Portanto P^{\text{sat}}_{\text{pent}}(55^\circ\mathrm{C})=10^{3{,}16023}=1450\\ \mathrm{mmHg}.
Convertendo para kPa:
P^{\text{sat}}_{\text{pent}}=1450\cdot 0{,}133322=193{,}3\\ \mathrm{kPa}.
Para n-hexano:
\log_{10} P^{\text{sat}}_{\text{hex}} = 6{,}87630 - \frac{1171{,}53}{224{,}00+55}.
Denominador 224+55=279. Então
\frac{1171{,}53}{279}=4{,}199\quad\Rightarrow\quad \log_{10} P^{\text{sat}}_{\text{hex}}=6{,}87630-4{,}199=2{,}6773,
portanto P^{\text{sat}}_{\text{hex}}(55^\circ\mathrm{C})=10^{2{,}6773}=476\\ \mathrm{mmHg}.
Convertendo:
P^{\text{sat}}_{\text{hex}}=476\cdot 0{,}133322=63{,}4\\ \mathrm{kPa}.
Resumo (valores calculados a 55^\circ\mathrm{C}):
P^{\text{sat}}_{\text{pent}}=193{,}3\\ \mathrm{kPa},\qquad P^{\text{sat}}_{\text{hex}}=63{,}4\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Parte (a) — ponto de bolha a T=55^\circ\mathrm{C}.
Definição: com a composição líquida conhecida x_i (aqui x_{\text{pent}}=x_{\text{hex}}=0,5), a pressão de bolha é
P_{\text{bolha}} = \sum_i x_i P_i^{\text{sat}}(T).
Substituindo os valores:
P_{\text{bolha}} = 0{,}5\cdot 193{,}3 + 0{,}5\cdot 63{,}4 = \frac{193{,}3+63{,}4}{2}=128{,}35\\ \mathrm{kPa}.
Agora as frações molares no vapor no ponto de bolha (usar Raoult + definição de y_i):
y_i = \frac{x_i P_i^{\text{sat}}}{P}.
Para pentano:
y_{\text{pent}}=\frac{0{,}5\cdot 193{,}3}{128{,}35}=0{,}7536\approx 0{,}754.
Para hexano:
y_{\text{hex}}=\frac{0{,}5\cdot 63{,}4}{128{,}35}=0{,}2464\approx 0{,}246.

Passo 5

Parte (a) — ponto de orvalho a T=55^\circ\mathrm{C}.
Definição: para vapor com frações y_i conhecidas (aqui o enunciado inicial diz mistura com frações molares iguais — para ponto de orvalho assumimos que a composição do vapor é essa, y_{\text{pent}}=y_{\text{hex}}=0{,}5), a pressão de orvalho satisfaz:
\frac{1}{P_{\text{orvalho}}}=\sum_i\frac{y_i}{P_i^{\text{sat}}(T)}.
Substituindo y_i=0{,}5 e os P_i^{\text{sat}} calculados:
\frac{1}{P_{\text{orvalho}}} = \frac{0{,}5}{193{,}3} + \frac{0{,}5}{63{,}4} = 0{,}002587 + 0{,}007887 = 0{,}010474\\ \mathrm{kPa}^{-1}.
Logo
P_{\text{orvalho}} = \frac{1}{0{,}010474}=95{,}46\\ \mathrm{kPa}.
As frações molares no líquido formado nesse ponto de orvalho (usar x_i = \dfrac{y_i P}{P_i^{\text{sat}}}):
x_{\text{pent}} = \frac{0{,}5\cdot 95{,}46}{193{,}3}=0{,}2471\approx 0{,}247,
x_{\text{hex}} = \frac{0{,}5\cdot 95{,}46}{63{,}4}=0{,}7529\approx 0{,}753.

Passo 6

Parte (b) — ponto de bolha à pressão P=152\\ \mathrm{kPa}.
Agora a temperatura de bolha é a incógnita. A condição de bolha é
P = \sum_i x_i P_i^{\text{sat}}(T),
e para esse caso x_i é a composição líquida inicial, x_{\text{pent}}=x_{\text{hex}}=0{,}5. Logo precisamos achar T tal que
152 = 0{,}5\cdot P^{\text{sat}}_{\text{pent}}(T) + 0{,}5\cdot P^{\text{sat}}_{\text{hex}}(T).
Isto é uma equação não linear em T. Vou resolver por tentativa/interpolação avaliando P^{\text{sat}}_i(T) com Antoine.
Avaliações (cálculos mostrados resumidos):
  • Em T=60^\circ\mathrm{C} obteve-se P_{\text{bolha}} \approx 148{,}8\\ \mathrm{kPa} (menor que 152).
  • Em T=61^\circ\mathrm{C} obteve-se P_{\text{bolha}} \approx 153{,}35\\ \mathrm{kPa} (maior que 152).
Interpolando linearmente entre 60 e 61:
T_{\text{bolha}}\approx 60^\circ + \frac{152-148{,}8}{153{,}35-148{,}8}\cdot 1^\circ \approx 60{,}70^\circ\mathrm{C}.
Agora as frações molares no vapor nesse ponto (usar y_i = x_i P/P_i^{\text{sat}}(T_{\text{bolha}})):
Cálculos com T_{\text{bolha}}=60{,}70^\circ\mathrm{C} levaram a
y_{\text{pent}}\approx 0{,}745,\qquad y_{\text{hex}}\approx 0{,}255.

Passo 7

Parte (b) — ponto de orvalho à pressão \;152\\ \mathrm{kPa}.
Agora a temperatura de orvalho é a incógnita. A condição de orvalho (conhecendo y_i; aqui o enunciado original tinha y_i iguais? A interpretação padrão: para encontrar a temperatura de orvalho correspondente à mistura cuja composição total é z_i igual a 0{,}5 e assumindo que o vapor que começa a condensar tem essas frações, usamos y_i=z_i=0{,}5) é
\frac{1}{152} = \frac{0{,}5}{P^{\text{sat}}_{\text{pent}}(T)} + \frac{0{,}5}{P^{\text{sat}}_{\text{hex}}(T)}.
Novamente resolvemos numericamente para T.
Avaliações (resumidas):
  • Em T=65^\circ\mathrm{C} obtivemos P_{\text{orvalho}} implícito \approx 132{,}2\\ \mathrm{kPa} (menor que 152).
  • Em T=70^\circ\mathrm{C} obtivemos P_{\text{orvalho}} implícito \approx 152{,}9\\ \mathrm{kPa} (próximo de 152).
Interpolando entre 65 e 70 obtemos
T_{\text{orvalho}}\approx 69{,}78^\circ\mathrm{C}.
As frações molares no líquido formado nesse ponto de orvalho (usar x_i = y_i P / P_i^{\text{sat}}(T_{\text{orvalho}}) com y_i=0{,}5) calculam-se e resultam em
x_{\text{pent}}\approx 0{,}260,\qquad x_{\text{hex}}\approx 0{,}740.

Passo 8

Parte (c) — problema do flash a T=55^\circ\mathrm{C} com V=0{,}75.
Dados: z_{\text{pent}}=z_{\text{hex}}=0{,}5,\;V=0{,}75,\;P^{\text{sat}}_{\text{pent}}(55^\circ\mathrm{C})=193{,}3\\ \mathrm{kPa},\;P^{\text{sat}}_{\text{hex}}(55^\circ\mathrm{C})=63{,}4\\ \mathrm{kPa}.
Recordando a equação de normalização para encontrar P:
\sum_i \frac{z_i}{1 + V\left(\dfrac{P_i^{\text{sat}}}{P}-1\right)} = 1.
Para a binária com os números dados (com manipulação algébrica) isto pode ser reescrito e resolvido numericamente. Fiz isso avaliando a função
h(P)=P\left[\frac{0{,}5}{0{,}25P+0{,}75P^{\text{sat}}_{\text{pent}}}+\frac{0{,}5}{0{,}25P+0{,}75P^{\text{sat}}_{\text{hex}}}\right]-1
e procurando h(P)=0.
Testes numéricos rápidos deram raiz em torno de
P_{\text{flash}}\approx 102{,}32\\ \mathrm{kPa}.
Agora calculamos os fatores de equilíbrio K_i=\dfrac{P_i^{\text{sat}}}{P} a essa pressão:
K_{\text{pent}}=\frac{193{,}3}{102{,}32}=1{,}888,\qquad K_{\text{hex}}=\frac{63{,}4}{102{,}32}=0{,}620.
Então obtemos as composições do líquido usando
x_i = \frac{z_i}{1 + V(K_i-1)}.
Para pentano:
x_{\text{pent}}=\frac{0{,}5}{1 + 0{,}75(1{,}888-1)}=\frac{0{,}5}{1{,}666}=0{,}300.
Para hexano:
x_{\text{hex}}=\frac{0{,}5}{1 + 0{,}75(0{,}620-1)}=\frac{0{,}5}{0{,}715}=0{,}700.
(Os valores somam aproximadamente 1, pequenas diferenças são arredondamento.)
As composições da fase vapor são y_i=K_i x_i:
y_{\text{pent}}=1{,}888\cdot 0{,}300\approx 0{,}566,\qquad y_{\text{hex}}=0{,}620\cdot 0{,}700\approx 0{,}434.

Resposta

(a) Pressão de bolha P_{\text{bolha}}=128,35\\ \mathrm{kPa}; frações no vapor: y_{\text{pent}}=0,754,\;y_{\text{hex}}=0,246.
(a) Pressão de orvalho P_{\text{orvalho}}=95,46\\ \mathrm{kPa}; frações no líquido: x_{\text{pent}}=0,247,\;x_{\text{hex}}=0,753.
(b) Temperatura de bolha T_{\text{bolha}}\approx 60,70^\circ\mathrm{C}; frações no vapor: y_{\text{pent}}=0,745,\;y_{\text{hex}}=0,255.
(b) Temperatura de orvalho T_{\text{orvalho}}\approx 69,78^\circ\mathrm{C}; frações no líquido: x_{\text{pent}}=0,260,\;x_{\text{hex}}=0,740.
(c) Flash a T=55^\circ\mathrm{C} com V=0,75: P_{\text{eq}}\approx 102,32\\ \mathrm{kPa}; composições: líquido x_{\text{pent}}=0,300,\;x_{\text{hex}}=0,700 e vapor y_{\text{pent}}=0,566,\;y_{\text{hex}}=0,434.

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