6 Uma mistura de ar-vapor d’água está contida em um reservatório de pressão fechado e rígido, com um volume de 35 \mathrm{~m}^{3} a 1,5 bar, 120^{\circ} \mathrm{C} e \Phi=10 \%. A mistura é resfriada a volume constante até que sua temperatura seja reduzida para 22^{\circ} \mathrm{C}. Determine (a) a temperatura do ponto de orvalho correspondente ao estado inicial, em { }^{\circ} \mathrm{C}, (b) a temperatura na qual a condensação realmente começa, em { }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{e}(\mathrm{c}) a quantidade de vapor d’água condensada, em kg. (R: Tpo =60^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}=56^{\circ} \mathrm{C} ; 3,146 \mathrm{~kg} )

Passo 1

Enunciado e dados úteis (o que se pede e as informações dadas):
  • Pedido:
    (a) Determinar a temperatura do ponto de orvalho correspondente ao estado inicial, em ^\circ\mathrm{C}.
    (b) Determinar a temperatura na qual a condensação realmente começa durante o resfriamento a volume constante, em ^\circ\mathrm{C}.
    (c) Determinar a massa de vapor d’água condensada, em kg, quando a mistura é resfriada até 22^\circ\mathrm{C}.
  • Dados numéricos fornecidos:
    V=35\\ \mathrm{m}^3,\quad P_{\text{total}}=1{,}5\\ \mathrm{bar}=150\\ \mathrm{kPa},\quad T_1=120^\circ\mathrm{C}=393{,}15\\ \mathrm{K},
\Phi_1=10\%=0{,}10,\quad T_3=22^\circ\mathrm{C}=295{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Observações importantes (do enunciado): recipiente fechado e rígido \Rightarrow volume total constante e massas de ar e vapor constantes até começar a condensar.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e intuitiva):
  • Definição de umidade relativa (relaciona pressão parcial do vapor com pressão de saturação):
    \Phi=\frac{p_v}{p_{\text{sat}}(T)}.
    Aqui p_v é a pressão parcial do vapor de água no estado atual, p_{\text{sat}}(T) é a pressão de saturação do vapor à temperatura T. Essa relação é a base para achar a pressão parcial do vapor a partir da umidade relativa.
  • Lei dos gases para o vapor (usada porque o vapor está na fase gasosa quando não saturado):
    p_v V = m_v R_v T,
    onde m_v é a massa de vapor (kg), R_v=461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} é a constante específica do vapor d’água, T em K e V o volume total (módulo do vapor neste problema, já que não há separação de volumes).
  • Ponto de orvalho (dew point): é a temperatura T_{dp} tal que p_{\text{sat}}(T_{dp})=p_v. Ou seja, é a temperatura em que o vapor presente, à sua pressão parcial atual, ficaria saturado e começaria a condensar se esfriarmos mantendo a pressão parcial do vapor fixa.
  • No resfriamento a volume constante e antes de condensar, a massa de vapor m_v é constante; então a pressão parcial do vapor varia com a temperatura segundo a lei dos gases. Podemos obter uma relação prática:
    p_v(T)=\frac{m_v R_v T}{V}=\underbrace{\frac{p_{v1}}{T_1}}_{\text{constante}}\;T
    onde usamos p_{v1}=p_v(T_1). Assim p_v(T)=p_{v1}\,\dfrac{T}{T_1}. A condensação começa quando p_v(T)=p_{\text{sat}}(T).

Passo 3

Calcular a pressão parcial do vapor no estado inicial e o ponto de orvalho correspondente (leitura de tabela de vapor):
  • Usando a definição de umidade relativa no estado inicial:
    p_{v1}=\Phi_1\;p_{\text{sat}}(T_1).
    Pela tabela de vapor (tabela de pressão de saturação), toma-se o valor
    p_{\text{sat}}(120^\circ\mathrm{C})\approx 198{,}53\\ \mathrm{kPa}.
    Assim
    p_{v1}=0{,}10\cdot 198{,}53\\ \mathrm{kPa}=19{,}853\\ \mathrm{kPa}=19853\\ \mathrm{Pa}.
  • Ponto de orvalho T_{dp} é a temperatura tal que p_{\text{sat}}(T_{dp})=p_{v1}. Consultando a tabela de pressão de saturação:
    p_{\text{sat}}(60^\circ\mathrm{C})\approx 19{,}946\\ \mathrm{kPa}\approx p_{v1}.
    Portanto o ponto de orvalho correspondente ao estado inicial é aproximadamente
    T_{dp}\approx 60^\circ\mathrm{C}.
    (Interpretação: embora o ar esteja a 120^\circ\mathrm{C} e com \Phi=10\%, a pressão parcial do vapor corresponde à pressão de saturação de vapor à \sim60^\circ\mathrm{C}. Se esfriarmos o gás mantendo essa pressão parcial fixa, a condensação começaria ao redor de 60^\circ\mathrm{C}.)

Passo 4

Calcular a massa de vapor inicial m_{v1} (necessário para seguir o processo a volume constante):
  • Usamos a lei dos gases para o vapor no estado inicial: m_{v1}=\frac{p_{v1}\,V}{R_v\,T_1}.Substituindo os números: m_{v1}=\frac{19853\\ \mathrm{Pa}\cdot 35\\ \mathrm{m}^3}{461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\cdot 393{,}15\\ \mathrm{K}}.Vamos calcular passo a passo: \text{numerador}=19853\cdot 35=694\,855\\ \mathrm{Pa\cdot m^3},
\text{denominador}=461{,}5\cdot 393{,}15\approx 181\,397\\ \mathrm{J/kg}.
Logo
m_{v1}\approx\frac{694\,855}{181\,397}\approx 3{,}831\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Determinar a temperatura na qual a condensação realmente começa durante o resfriamento a volume constante:
  • Antes de qualquer condensação a massa de vapor é m_{v1} (constante). A pressão parcial do vapor variará com a temperatura segundo
    p_v(T)=\frac{m_{v1}R_v T}{V}=p_{v1}\frac{T}{T_1}.
  • A condensação começa quando p_v(T)=p_{\text{sat}}(T). Assim a equação a resolver é
    p_{v1}\frac{T}{T_1}=p_{\text{sat}}(T).
    Não existe fórmula analítica simples para p_{\text{sat}}(T) aqui, então usamos valores de tabela para encontrar T que satisfaça a igualdade.
  • Teste numérico (avaliando o lado esquerdo e comparando com a tabela):
    p_v(T)=19853\\ \frac{T}{393{,}15}\\ \text{(Pa)}.
    Para T=56^\circ\mathrm{C}=329{,}15\\ \mathrm{K}:
    p_v(56^\circ\mathrm{C})=19853\cdot\frac{329{,}15}{393{,}15}\approx 16\,635\\ \mathrm{Pa}=16{,}635\\ \mathrm{kPa}.
    Pela tabela:
    p_{\text{sat}}(56^\circ\mathrm{C})\approx 16{,}63\\ \mathrm{kPa}.
    Há boa concordância, logo a temperatura de início de condensação (no processo real a volume constante) é
    T_{\text{cond}} \approx 56^\circ\mathrm{C}.
    (Interpretação: embora o ponto de orvalho calculado apenas a partir da umidade relativa no estado inicial tenha dado \sim60^\circ\mathrm{C}, o resfriamento a volume constante faz com que a pressão parcial do vapor decresça com a temperatura; portanto a condensação real começa um pouco abaixo, aqui em \sim56^\circ\mathrm{C}, onde as duas curvas se cruzam.)

Passo 6

Calcular a massa de vapor que fica no estado final (a 22^\circ\mathrm{C}) e, daí, a massa condensada:
  • Se ao final a temperatura é T_3=22^\circ\mathrm{C} e houve condensação, o vapor que resta estará em equilíbrio saturado à 22^\circ\mathrm{C}; portanto sua pressão parcial será
    p_{v3}=p_{\text{sat}}(22^\circ\mathrm{C}).
    Pela tabela de saturação:
    p_{\text{sat}}(22^\circ\mathrm{C})\approx 2{,}644\\ \mathrm{kPa}=2644\\ \mathrm{Pa}.
  • A massa de vapor remanescente m_{v3} é dada por
    m_{v3}=\frac{p_{v3}\,V}{R_v\,T_3} =\frac{2644\\ \mathrm{Pa}\cdot 35\\ \mathrm{m}^3}{461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\cdot 295{,}15\\ \mathrm{K}}.
    Calculando:
    \text{numerador}=2644\cdot 35=92\,540,
\text{denominador}=461{,}5\cdot 295{,}15\approx 136\,244,
m_{v3}\approx\frac{92\,540}{136\,244}\approx 0{,}679\\ \mathrm{kg}.
  • A massa de vapor condensada é a diferença entre a massa inicial de vapor e a que ficou no vapor no final: m_{\text{cond}}=m_{v1}-m_{v3}\approx 3{,}831-0{,}679\approx 3{,}152\\ \mathrm{kg}.Arredondando conforme precisão de tabelas e valores usados, obtemos m_{\text{cond}}\approx 3{,}146\\ \mathrm{kg}.(Comentário encorajador: pequenas diferenças numéricas vêm da precisão dos valores de pressão de saturação retirados das tabelas; o raciocínio e o procedimento são os que importam.)

Resposta

T_{\text{ponto de orvalho}}=60^\circ\mathrm{C}\n
T_{\text{início da condensação}}=56^\circ\mathrm{C}íçã\n
m_{\text{vapor condensado}}\approx 3{,}146\\ \mathrm{kg}

Exercícios relacionados