3 Sob regime permanente, ar úmido a 29^{\circ} \mathrm{C}, 1 bar e 50 \% de umidade relativa entra em um dispositivo com uma vazão volumétrica de 13 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Água líquida a 40^{\circ} \mathrm{C} é borrifada no ar úmido com uma vazão de 22 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A água líquida que não evapora na corrente de ar úmido é drenada e flui para outro dispositivo a 26^{\circ} \mathrm{C} com uma vazão de 21,55 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Uma corrente de ar úmido sai a 1 bar. Despreze a transferência de calor entre o dispositivo e as vizinhanças, bem como efeitos de energia cinética e potencial e determine a temperatura e a umidade relativa da corrente de ar úmido de saída. (R: T~41 { }^{\circ} \mathrm{C} e \Phi=83,1 \% )

Passo 1

O enunciado pede: determinar a temperatura e a umidade relativa da corrente de ar úmido de saída. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
  • Ar de entrada: T_{\text{ar,in}}=29^\circ\mathrm{C}, p=1\\ \text{bar}=100\\ \text{kPa}, umidade relativa \Phi_{\text{in}}=50\%.
  • Vazão volumétrica do ar (mojado) de entrada: \dot V=13\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Água líquida borrifada: \dot m_{w,\text{in}}=22\\ \mathrm{kg/s}, T_{w,\text{in}}=40^\circ\mathrm{C}.
  • Água drenada (não evaporada) que sai do dispositivo: \dot m_{w,\text{out}}=21,55\\ \mathrm{kg/s} e destinada a outro dispositivo a 26^\circ\mathrm{C} (vou assumir que a temperatura da água drenada na saída deste dispositivo é T_{w,\text{out}}=26^\circ\mathrm{C}).
  • Pressupostos: regime permanente, sem trocas de calor com vizinhança, desprezar energia cinética e potencial.
  • Quantidade evaporada (diferença de massas líquidas): \dot m_{\text{evap}}=\dot m_{w,\text{in}}-\dot m_{w,\text{out}} (vai entrar na conta).
  • O que se pede: T_{\text{ar,out}} e \Phi_{\text{out}}.

Passo 2

Plano físico e fórmulas básicas que vamos usar (explicando passo a passo):
  1. Balanço de massa de ar seco: a vazão volumétrica dada é de ar úmido; para obter a vazão mássica de ar seco \dot m_{a} usamos a pressão parcial do ar seco e a equação dos gases ideais:
\dot m_{a} = \dot V \frac{p_a}{R_a T_{\text{in}}}
onde p_a = p - p_v é a pressão parcial do ar seco, p_v é a pressão parcial do vapor na entrada, R_a=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T_{\text{in}} em Kelvin.
  1. Para achar p_v na entrada usamos a umidade relativa e a pressão de saturação \,p_{sat}(T). Uma fórmula prática (Tetens/Magnus) para p_{sat} em kPa é:
p_{sat}(T) = 0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right),
com T em ^\circ\mathrm{C}. Então
p_v = \Phi\,p_{sat}(T).
  1. Razão de mistura (ou razão de umidade) w — massa de vapor por massa de ar seco — está dada por
w = 0{,}622\frac{p_v}{p - p_v}.
Essa é a relação derivada da lei dos gases para vapor e ar seco.
  1. Balanço de massa de água: a massa evaporada por unidade de tempo é \dot m_{\text{evap}}=\dot m_{w,\text{in}}-\dot m_{w,\text{out}}. A razão de mistura na saída será
w_{\text{out}} = w_{\text{in}} + \frac{\dot m_{\text{evap}}}{\dot m_{a}}.
  1. Energia: em regime permanente e adiabático, a energia total que entra = energia total que sai. Para ar úmido usa-se a entalpia por kg de ar seco:
h_{\text{ma}} = c_{pa}T + w\,(h_{fg,0}+c_{pv}T),
onde normalmente usamos c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e h_{fg,0}\approx 2501\\ \mathrm{kJ/kg} (calor latente aproximado a 0^\circ\mathrm{C}). As temperaturas T aqui são em ^\circ\mathrm{C} (a fórmula é uma forma prática usual em psicrometria). Para a água líquida usamos capacidade térmica c_{pw}=4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e entalpia aproximada h_w=c_{pw}T (referida a 0^\circ\mathrm{C}).
  1. O balanço de energia total (por unidade de tempo) é:
\dot m_a h_{\text{ma,in}} + \dot m_{w,\text{in}} c_{pw} T_{w,\text{in}} = \dot m_a h_{\text{ma,out}} + \dot m_{w,\text{out}} c_{pw} T_{w,\text{out}}.
Desse balanço vamos resolver T_{\text{out}} (aparecerá em h_{\text{ma,out}}). Em seguida achamos \Phi_{\text{out}} a partir da razão de mistura e da pressão de saturação a T_{\text{out}}.
Agora aplicamos essas etapas numericamente com os dados.

Passo 3

Calcular as propriedades do ar de entrada e a vazão mássica de ar seco.
  1. Saturação a T_{\text{in}}=29^\circ\mathrm{C}. Usando Tetens:
p_{sat}(29^\circ\mathrm{C}) = 0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 29}{29+237{,}3}\right)\approx 4{,}006\\ \text{kPa}.
  1. Pressão parcial do vapor na entrada:
p_{v,\text{in}}=\Phi_{\text{in}}\,p_{sat}=0{,}50\cdot 4{,}006\approx 2{,}003\\ \text{kPa}.
  1. Razão de mistura na entrada:
w_{\text{in}} = 0{,}622\frac{p_{v,\text{in}}}{p-p_{v,\text{in}}} =0{,}622\frac{2{,}003}{100-2{,}003}\approx 0{,}01271\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}.
  1. Pressão parcial do ar seco:
p_a = p - p_{v,\text{in}} = 100 - 2{,}003 = 97{,}997\\ \text{kPa} = 97{,}997\cdot 10^3\\ \text{Pa}.
  1. Temperatura em Kelvin:
T_{\text{in,K}}=29+273{,}15=302{,}15\\ \text{K}.
  1. Vazão mássica de ar seco:
\dot m_a = \dot V\frac{p_a}{R_a T_{\text{in,K}}} =13\cdot\frac{97{,}997\cdot 10^3}{287{,}05\cdot 302{,}15}\approx 14{,}685\\ \mathrm{kg/s}.
(Interpretação: a cada segundo passam cerca de 14{,}685\\ \mathrm{kg} de ar seco pelo aparelho.)

Passo 4

Balanço de massas de água e nova razão de mistura.
  1. Massa evaporada:
\dot m_{\text{evap}}=\dot m_{w,\text{in}}-\dot m_{w,\text{out}} = 22 - 21{,}55 = 0{,}45\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Incremento de razão de mistura por evaporação:
\Delta w = \frac{\dot m_{\text{evap}}}{\dot m_a} = \frac{0{,}45}{14{,}685}\approx 0{,}030645.
  1. Razão de mistura na saída:
w_{\text{out}} = w_{\text{in}} + \Delta w \approx 0{,}01271 + 0{,}030645 = 0{,}043356\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}.
Agora temos w_{\text{out}} conhecido; resta achar T_{\text{out}} pelo balanço de energia.

Passo 5

Balanço de energia (detalhando as entalpias usadas).
  1. Entalpia do ar úmido por kg de ar seco (fórmula prática usada):
h_{\text{ma}} = c_{pa} T + w\,(2501 + c_{pv} T),
com c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e 2501\\ \mathrm{kJ/kg} ≈ calor latente (referência prática).
  1. Calcular h_{\text{ma,in}} com T_{\text{in}}=29^\circ\mathrm{C} e w_{\text{in}}=0{,}01271:
h_{\text{ma,in}} = 1{,}006\cdot 29 + 0{,}01271\,(2501 + 1{,}86\cdot 29) \approx 29{,}174 + 32{,}483 \approx 61{,}657\\ \mathrm{kJ/kg_{ar\\ seco}}.
  1. Expressão para h_{\text{ma,out}} (incógnita T_{\text{out}}):
h_{\text{ma,out}} = 1{,}006\,T_{\text{out}} + w_{\text{out}}\,(2501 + 1{,}86\,T_{\text{out}}).
Substituindo w_{\text{out}}=0{,}043356 obtemos (organizando termos em T_{\text{out}}):
h_{\text{ma,out}} \approx 1{,}086654\,T_{\text{out}} + 108{,}384\quad(\mathrm{kJ/kg_{ar\\ seco}}),
onde T_{\text{out}} em ^\circ\mathrm{C}.
  1. Entalpias das correntes líquidas de água (referenciadas a 0^\circ\mathrm{C}):
h_{w,\text{in}} = c_{pw} T_{w,\text{in}} = 4{,}186\cdot 40 = 167{,}44\\ \mathrm{kJ/kg},
h_{w,\text{out}} = c_{pw} T_{w,\text{out}} = 4{,}186\cdot 26 = 108{,}836\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Agora o balanço energético total:
\dot m_a h_{\text{ma,in}} + \dot m_{w,\text{in}} h_{w,\text{in}} = \dot m_a h_{\text{ma,out}} + \dot m_{w,\text{out}} h_{w,\text{out}}.
Substituindo números:
14{,}685\cdot 61{,}657 + 22\cdot 167{,}44 = 14{,}685\cdot(1{,}086654\,T_{\text{out}} + 108{,}384) + 21{,}55\cdot 108{,}836.
  1. Calculando os termos numéricos:
  • Lado esquerdo:
14{,}685\cdot 61{,}657 \approx 905{,}44\\ \mathrm{kW}, \quad 22\cdot 167{,}44 \approx 3{,}683{,}68\\ \mathrm{kW},
soma \approx 4{,}589{,}12\\ \mathrm{kW}.
  • Lado direito (expandindo o primeiro termo):
14{,}685\cdot 1{,}086654\approx 15{,}9558\quad\text{(coeficiente de }T_{\text{out}})
e
14{,}685\cdot 108{,}384 \approx 1{,}591{,}61\\ \mathrm{kW}.
Também
21{,}55\cdot 108{,}836 \approx 2{,}345{,}36\\ \mathrm{kW}.
Portanto o lado direito é
15{,}9558\,T_{\text{out}} + 1{,}591{,}61 + 2{,}345{,}36 = 15{,}9558\,T_{\text{out}} + 3{,}936{,}97\\ \mathrm{kW}.
  1. Igualando LHS e RHS:
4{,}589{,}12 = 15{,}9558\,T_{\text{out}} + 3{,}936{,}97
15{,}9558\,T_{\text{out}} = 4{,}589{,}12 - 3{,}936{,}97 = 652{,}15
T_{\text{out}} = \frac{652{,}15}{15{,}9558} \approx 40{,}89^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a temperatura do ar aumentou para cerca de 40{,}9^\circ\mathrm{C} por causa da transferência de calor da água borrifada (embora parte da água tenha evaporado, o ar também aqueceu).

Passo 6

Determinar a umidade relativa de saída \Phi_{\text{out}}.
  1. Primeiro encontramos a pressão parcial do vapor na saída a partir de w_{\text{out}}. Invertendo
w = 0{,}622\frac{p_v}{p-p_v}\quad\Rightarrow\quad p_v = \frac{w\,p}{0{,}622 + w}.
Substituindo w_{\text{out}}=0{,}043356 e p=100\\ \text{kPa}:
p_{v,\text{out}} = \frac{0{,}043356\cdot 100}{0{,}622 + 0{,}043356} \approx 6{,}514\\ \text{kPa}.
  1. Pressão de vapor de saturação à temperatura de saída T_{\text{out}}=40{,}89^\circ\mathrm{C}, pelo mesmo tipo de fórmula:
p_{sat}(40{,}89^\circ\mathrm{C}) = 0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 40{,}89}{40{,}89+237{,}3}\right)\approx 7{,}736\\ \text{kPa}.
  1. Umidade relativa de saída:
\Phi_{\text{out}} = \frac{p_{v,\text{out}}}{p_{sat}(T_{\text{out}})} \approx \frac{6{,}514}{7{,}736}\approx 0{,}842 \equiv 84{,}2\%.
Observação didática: pequenas diferenças nos valores de \Phi_{\text{out}} (por exemplo, se alguém usar h_{fg}=2500\\ \mathrm{kJ/kg} ou outro ajuste das constantes) provocam variações de algumas décimas a poucos pontos percentuais; o importante é o procedimento: 1) massa seca do ar, 2) balanço de massa de água para obter w_{\text{out}}, 3) balanço de energia para obter T_{\text{out}}, 4) usar w_{\text{out}} e T_{\text{out}} para calcular \Phi_{\text{out}}.

Resposta

T_{\text{ar,out}}\approx 40{,}89^\circ\mathrm{C}\n \Phi_{\text{out}}\approx 84{,}2\%

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