Em regime permanente, 100 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} de ar seco a 32^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar são misturados adiabaticamente com um fluxo de oxigênio ( \mathrm{O}_{2}) a 127^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar para produzir um fluxo misturado a 47^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar. Determine (a) as vazões mássicas de ar seco e do oxigênio, em \mathrm{kg} / \mathrm{min}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Vazão volumétrica de ar seco: \dot{V}_{\text{ar}} = 100\\ \mathrm{m^3/min}.
  • Condições do ar: T_{\text{ar}} = 32^\circ\mathrm{C} e p = 1\\ \mathrm{bar}.
  • Fluxo de oxigênio ( \mathrm{O_2}) a T_{\mathrm{O_2}} = 127^\circ\mathrm{C} e p = 1\\ \mathrm{bar}.
  • Mistura resultante: T_{\text{mix}} = 47^\circ\mathrm{C} e p = 1\\ \mathrm{bar}.
  • Processo adiabático (ou seja, sem troca de calor com o ambiente).
O que se pede:
  • (a) Determinar as vazões mássicas (em \mathrm{kg/min}) do ar seco e do oxigênio que, ao se misturarem adiabaticamente, produzem a mistura final nas condições dadas.

Passo 2

Primeiro precisamos transformar a vazão volumétrica do ar em vazão mássica. Para isso usamos a equação dos gases ideais para obter a densidade do ar nas condições dadas e depois multiplicamos pela vazão volumétrica.
A equação dos gases ideais, na forma que liga pressão p, densidade \rho e temperatura T (em Kelvin), é
\rho = \frac{p}{R\,T},
onde R é a constante específica do gás (para ar seco R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
Convertendo temperatura para Kelvin:
T_{\text{ar}} = 32^\circ\mathrm{C} = 32 + 273{,}15 = 305{,}15\\ \mathrm{K}.
Pressão p = 1\\ \mathrm{bar} = 1\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Agora calculamos a densidade do ar:
\rho_{\text{ar}} = \frac{1\times 10^{5}}{287\cdot 305{,}15}.
Faço a conta passo a passo:
287\cdot 305{,}15 = 87535{,}05
\rho_{\text{ar}} = \frac{100000}{87535{,}05} \approx 1{,}1423\\ \mathrm{kg/m^3}.
A vazão mássica do ar é
\dot{m}_{\text{ar}} = \rho_{\text{ar}} \,\dot{V}_{\text{ar}} = 1{,}1423\cdot 100 = 114{,}23\\ \mathrm{kg/min}.
Explicação didática rápida: usamos o gás ideal porque, à pressão de 1\\ \mathrm{bar} e temperaturas próximas de ambiente, ar se comporta muito bem como gás ideal. A densidade multiplicada pela vazão volumétrica dá diretamente a massa por unidade de tempo.

Passo 3

Agora fazemos o balanço de energia para mistura adiabática. Em mistura adiabática e em regime permanente, a soma das entalpias mássicas dos correntes que entram é igual à entalpia da corrente resultante. Para gases ideais com c_p aproximadamente constante no intervalo de temperatura aqui (boa aproximação), a entalpia mássica pode ser escrita como h = c_p T (tomando referencial arbitrário cancelado na soma). Assim o balanço é:
\dot{m}_{\text{ar}} c_{p,\text{ar}} T_{\text{ar}} + \dot{m}_{\mathrm{O_2}} c_{p,\mathrm{O_2}} T_{\mathrm{O_2}} = (\dot{m}_{\text{ar}} + \dot{m}_{\mathrm{O_2}})\,\overline{c_p}\,T_{\text{mix}}.
Mas \overline{c_p} cancela ao expandir o lado direito (ou, mais direto, escrever conservação de entalpia por componente):
\dot{m}_{\text{ar}} c_{p,\text{ar}} T_{\text{ar}} + \dot{m}_{\mathrm{O_2}} c_{p,\mathrm{O_2}} T_{\mathrm{O_2}} = \dot{m}_{\text{ar}} c_{p,\text{ar}} T_{\text{mix}} + \dot{m}_{\mathrm{O_2}} c_{p,\mathrm{O_2}} T_{\text{mix}}.
Rearranjando:
\dot{m}_{\text{ar}} c_{p,\text{ar}}(T_{\text{ar}} - T_{\text{mix}}) + \dot{m}_{\mathrm{O_2}} c_{p,\mathrm{O_2}}(T_{\mathrm{O_2}} - T_{\text{mix}}) = 0.
Esta equação é simples de entender: o ar mais frio retira (em termos relativos) entalpia da mistura e o oxigênio mais quente fornece entalpia; como não há troca com o ambiente, os efeitos se equilibram.

Passo 4

Escolhemos valores típicos de capacidade calorífica a pressão constante c_p (valores médios razoáveis no intervalo de temperatura considerado):
c_{p,\text{ar}} \approx 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad c_{p,\mathrm{O_2}} \approx 0{,}918\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Observação didática: c_p está em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}; como usaremos diferenças de temperatura em K (iguais às em °C) e massas em \mathrm{kg/min}, as unidades de energia ficam em \mathrm{kJ/min} — isso é coerente para comparar termos e resolver para vazões mássicas.
Substituindo na equação do passo anterior e isolando \dot{m}_{\mathrm{O_2}}:
\dot{m}_{\mathrm{O_2}} = -\frac{\dot{m}_{\text{ar}} c_{p,\text{ar}}(T_{\text{ar}} - T_{\text{mix}})}{c_{p,\mathrm{O_2}}(T_{\mathrm{O_2}} - T_{\text{mix}})}.
Agora os termômetros:
T_{\text{ar}} - T_{\text{mix}} = 32 - 47 = -15\\ ^\circ\mathrm{C},
T_{\mathrm{O_2}} - T_{\text{mix}} = 127 - 47 = 80\\ ^\circ\mathrm{C}.
Note que o sinal negativo em (T_{\text{ar}} - T_{\text{mix}}) é esperado (ar é mais frio que a mistura), e ele cancela com o sinal negativo da fórmula, resultando em \dot{m}_{\mathrm{O_2}}>0.
Agora plugamos números (usar \dot{m}_{\text{ar}} = 114{,}23\\ \mathrm{kg/min}):
\dot{m}_{\mathrm{O_2}} = \frac{114{,}23\cdot 1{,}005\cdot 15}{0{,}918\cdot 80}.
Faço as contas passo a passo:
114{,}23\cdot 1{,}005 \approx 114{,}80
114{,}80\cdot 15 = 1\,722{,}0\\ \mathrm{kJ/min}
0{,}918\cdot 80 = 73{,}44\\ \mathrm{kJ/(kg)}.
\dot{m}_{\mathrm{O_2}} = \frac{1\,722{,}0}{73{,}44} \approx 23{,}45\\ \mathrm{kg/min}.

Passo 5

Resumo dos resultados e comentários finais:
  • Vazão mássica do ar seco obtida a partir da vazão volumétrica usando gás ideal: \dot{m}_{\text{ar}} \approx 114{,}23\\ \mathrm{kg/min}.
  • Vazão mássica do oxigênio necessária para equilibrar entalpias (mistura adiabática): \dot{m}_{\mathrm{O_2}} \approx 23{,}45\\ \mathrm{kg/min}.
Comentário de prova/amigável: escolhemos c_p constantes porque o intervalo de temperatura não é enorme; em prova isso é padrão. Se quisessem precisão maior, usar tabelas de c_p(T) e integrar seria o caminho, mas para exercícios de balanço simples essa aproximação é a esperada.

Resposta

\dot{m}_{\text{ar}} = 114{,}23\\ \mathrm{kg/min}\n \dot{m}_{\mathrm{O_2}} = 23{,}45\\ \mathrm{kg/min}

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