Em regime permanente, 100 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} de ar seco a 32^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar são misturados adiabaticamente com um fluxo de oxigênio (\mathrm{O}_{2}) a 127^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar para produzir um fluxo misturado a 47^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar. Determine (a) as vazões mássicas de ar seco e do oxigênio, em \mathrm{kg} / \mathrm{min}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
Vazão volumétrica de ar seco: \dot{V}_{\text{ar}} = 100\\ \mathrm{m^3/min}.
Condições do ar: T_{\text{ar}} = 32^\circ\mathrm{C} e p = 1\\ \mathrm{bar}.
Fluxo de oxigênio (\mathrm{O_2}) a T_{\mathrm{O_2}} = 127^\circ\mathrm{C} e p = 1\\ \mathrm{bar}.
Mistura resultante: T_{\text{mix}} = 47^\circ\mathrm{C} e p = 1\\ \mathrm{bar}.
Processo adiabático (ou seja, sem troca de calor com o ambiente).
O que se pede:
(a) Determinar as vazões mássicas (em \mathrm{kg/min}) do ar seco e do oxigênio que, ao se misturarem adiabaticamente, produzem a mistura final nas condições dadas.
Passo 2
Primeiro precisamos transformar a vazão volumétrica do ar em vazão mássica. Para isso usamos a equação dos gases ideais para obter a densidade do ar nas condições dadas e depois multiplicamos pela vazão volumétrica.
A equação dos gases ideais, na forma que liga pressão p, densidade \rho e temperatura T (em Kelvin), é
\rho = \frac{p}{R\,T},
onde R é a constante específica do gás (para ar seco R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
Convertendo temperatura para Kelvin:
Explicação didática rápida: usamos o gás ideal porque, à pressão de 1\\ \mathrm{bar} e temperaturas próximas de ambiente, ar se comporta muito bem como gás ideal. A densidade multiplicada pela vazão volumétrica dá diretamente a massa por unidade de tempo.
Passo 3
Agora fazemos o balanço de energia para mistura adiabática. Em mistura adiabática e em regime permanente, a soma das entalpias mássicas dos correntes que entram é igual à entalpia da corrente resultante. Para gases ideais com c_p aproximadamente constante no intervalo de temperatura aqui (boa aproximação), a entalpia mássica pode ser escrita como h = c_p T (tomando referencial arbitrário cancelado na soma). Assim o balanço é:
Esta equação é simples de entender: o ar mais frio retira (em termos relativos) entalpia da mistura e o oxigênio mais quente fornece entalpia; como não há troca com o ambiente, os efeitos se equilibram.
Passo 4
Escolhemos valores típicos de capacidade calorífica a pressão constante c_p (valores médios razoáveis no intervalo de temperatura considerado):
Observação didática: c_p está em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}; como usaremos diferenças de temperatura em K (iguais às em °C) e massas em \mathrm{kg/min}, as unidades de energia ficam em \mathrm{kJ/min} — isso é coerente para comparar termos e resolver para vazões mássicas.
Substituindo na equação do passo anterior e isolando \dot{m}_{\mathrm{O_2}}:
Note que o sinal negativo em (T_{\text{ar}} - T_{\text{mix}}) é esperado (ar é mais frio que a mistura), e ele cancela com o sinal negativo da fórmula, resultando em \dot{m}_{\mathrm{O_2}}>0.
Vazão mássica do ar seco obtida a partir da vazão volumétrica usando gás ideal: \dot{m}_{\text{ar}} \approx 114{,}23\\ \mathrm{kg/min}.
Vazão mássica do oxigênio necessária para equilibrar entalpias (mistura adiabática): \dot{m}_{\mathrm{O_2}} \approx 23{,}45\\ \mathrm{kg/min}.
Comentário de prova/amigável: escolhemos c_p constantes porque o intervalo de temperatura não é enorme; em prova isso é padrão. Se quisessem precisão maior, usar tabelas de c_p(T) e integrar seria o caminho, mas para exercícios de balanço simples essa aproximação é a esperada.