Um mol de um gás ideal diatômico (molécula linear) inicialmente a pressão de 1,0 bar e temperatura de 373 K é conduzido a uma pressão final de 0,8 bar. Calcule o valor de \mathrm{w}, \mathrm{q}, \Delta \mathrm{U}, \mathrm{e} \Delta \mathrm{H} para este processo, considerando o caminho reversível definido por \mathbf{A )} \mathrm{P} / \mathrm{V}=\mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os valores solicitados:
  • Quantidade de gás: n=1{,}0 mol.
  • Estado inicial: pressão \,P_i=1{,}0\\ \text{bar} e temperatura \,T_i=373\\ \text{K}.
  • Estado final: pressão \,P_f=0{,}8\\ \text{bar}.
  • O caminho reversível segue a lei \displaystyle \frac{P}{V}=C (constante).
  • Tipo de gás: gás ideal diatômico (molécula linear).
Perguntas: calcular \,w (trabalho), \,q (calor trocado), \,\Delta U (variação de energia interna) e \,\Delta H (variação de entalpia) para esse processo.

Passo 2

Unidades e lei dos gases ideais — vamos começar trocando pressão para SI e lembrar da lei dos gases ideais.
  • Converter pressão: 1{,}0\\ \text{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \text{Pa} e 0{,}8\\ \text{bar}=0{,}8\times10^{5}\\ \text{Pa}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
  • Lei dos gases ideais:
PV=nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura.
Agora calculamos o volume inicial usando \,P_iV_i=nRT_i.

Passo 3

Cálculo do volume inicial \,V_i:
V_i=\frac{nRT_i}{P_i}=\frac{1{,}0\cdot 8{,}314\cdot 373}{1{,}0\times 10^{5}}\\ \text{m}^3.
Compute:
8{,}314\cdot 373 = 3\,101{,}122
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V_i=\frac{3\,101{,}122}{1\times 10^{5}}=0{,}03101122\\ \text{m}^3.

Passo 4

Usando a condição do caminho \displaystyle \frac{P}{V}=C (constante), obtemos C=\dfrac{P_i}{V_i} e então o volume final \,V_f=\dfrac{P_f}{C}. Uma forma mais simples é notar que V é proporcional a P, então
V_f=V_i\frac{P_f}{P_i}.
Como \dfrac{P_f}{P_i}=0{,}8, temos
V_f=0{,}8\,V_i=0{,}8\cdot 0{,}03101122=0{,}02480898\\ \text{m}^3.

Passo 5

Cálculo da temperatura final \,T_f pelo gás ideal:
T_f=\frac{P_fV_f}{nR}.
Ou, usando proporção, nota-se que a relação entre temperatura e pressão para esse caminho é T\propto P^2; especificamente,
T_f=\left(\frac{P_f}{P_i}\right)^2 T_i = (0{,}8)^2\cdot 373 = 0{,}64\cdot 373 = 238{,}72\\ \text{K}.
Portanto \Delta T = T_f-T_i = 238{,}72-373 = -134{,}28\\ \text{K}.

Passo 6

Capacidades caloríficas molares para gás diatômico linear (assumindo que modos vibracionais não contribuem significativamente a essa temperatura):
  • graus de liberdade efetivos f=5 (3 translação + 2 rotação), então
\bar{c}_V=\frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R,
\bar{c}_P=\bar{c}_V+R=\frac{7}{2}R.
Numérico:
\bar{c}_V=\frac{5}{2}\cdot 8{,}314 = 20{,}785\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1},
\bar{c}_P=\frac{7}{2}\cdot 8{,}314 = 29{,}099\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.

Passo 7

Cálculo de \Delta U. Para gás ideal, a energia interna depende só de T:
\Delta U = n\bar{c}_V\Delta T.
Substituindo:
\Delta U = 1{,}0\cdot 20{,}785\cdot(-134{,}28) = -2\,791{,}01\\ \text{J}.
Interpretação: energia interna diminuiu (valor negativo) porque a temperatura caiu.

Passo 8

Cálculo do trabalho reversível \,w. Convenção: usaremos a definição
w=-\int_{V_i}^{V_f} P\,dV,
onde w é o trabalho feito sobre o sistema (portanto positivo se o ambiente realiza trabalho sobre o sistema).
Como o caminho é dado por P=C V (pois P/V=C\Rightarrow P=C V), temos
w=-\int_{V_i}^{V_f} C V\,dV = -\frac{C}{2}\bigl(V_f^2-V_i^2\bigr).
Usamos C=\dfrac{P_i}{V_i} e a relação V_f=0{,}8V_i. Substituindo:
V_f^2-V_i^2=(0{,}8^2-1)V_i^2=(-0{,}36) V_i^2,
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w=-\frac{P_i}{V_i}\cdot\frac{1}{2}\cdot(-0{,}36)V_i^2 = 0{,}18\,P_iV_i.
Mas P_iV_i=nRT_i, portanto
w=0{,}18\;nRT_i=0{,}18\cdot 3\,101{,}122 = 558{,}20\\ \text{J}.
Conclusão: w=+558{,}20\\ \text{J} (trabalho realizado sobre o sistema).

Passo 9

Cálculo do calor q pelo primeiro princípio da termodinâmica. Usando a convenção \Delta U = q + w (onde w é trabalho feito sobre o sistema):
q=\Delta U - w.
Substituindo os valores:
q = -2\,791{,}01 - 558{,}20 = -3\,349{,}21\\ \text{J}.
Interpretação: q negativo → calor saiu do sistema.

Passo 10

Cálculo de \Delta H. Para gás ideal,
\Delta H = n\bar{c}_P\Delta T.
Substituindo:
\Delta H = 1{,}0\cdot 29{,}099\cdot(-134{,}28) = -3\,907{,}41\\ \text{J}.
Verificação rápida (consistência):
\Delta H = \Delta U + nR\Delta T,
-3\,907{,}41 \approx -2\,791{,}01 + 8{,}314\cdot(-134{,}28) = -2\,791{,}01 -1\,116{,}40 = -3\,907{,}41,
casamento perfeito.

Resposta

w=+558{,}20\\ \text{J}
q=-3\,349{,}21\\ \text{J}
\Delta U=-2\,791{,}01\\ \text{J}
\Delta H=-3\,907{,}41\\ \text{J}

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