Um mol de um gás ideal diatômico (molécula linear) inicialmente a pressão de 1,0 bar e temperatura de 373 K é conduzido a uma pressão final de 0,8 bar. Calcule o valor de \mathrm{w}, \mathrm{q}, \Delta \mathrm{U}, \mathrm{e} \Delta \mathrm{H} para este processo, considerando o caminho reversível definido por \mathbf{C)} \mathrm{PxV}^{\gamma}=\mathrm{C}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (copiados e organizados):
  • Temos n=1 mol de um gás ideal diatômico linear.
  • Condição inicial: P_{1}=1,0\\ \mathrm{bar} e T_{1}=373\\ \mathrm{K}.
  • Condição final: P_{2}=0,8\\ \mathrm{bar}.
  • O caminho do processo é reversível e satisfaz P\,V^{\gamma}=\text{const} (o enunciado chamou esse caminho de C).
  • O problema pede os valores de w, q, \Delta U e \Delta H para esse processo.

Passo 2

Escolha de método e convenções (muito importante para os sinais):
  • O caminho P\,V^{\gamma}=\text{const} é a equação do processo adiabático reversível para um gás ideal. Portanto este é um processo adiabático reversível. Dessa forma temos imediatamente q=0. Eu vou explicar por quê nos próximos passos.
  • Convenção de sinais que vou usar (clareza absoluta): vou definir w como o trabalho realizado pelo gás (ou seja, trabalho “saindo” do sistema). Com essa convenção, a primeira lei fica
\Delta U = q - w.
Essa é uma convenção comum em muitas disciplinas de termodinâmica de química/engenharia (onde w>0 para expansão). Se preferir a outra convenção (trabalho sobre o sistema), basta inverter o sinal de w no final — mas aqui sigo a definição acima e serei consistente.

Passo 3

Propriedades do gás diatômico linear (capacidades caloríficas e \gamma):
  • Um gás diatômico linear, com modos vibracionais desprezíveis (caso típico em temperaturas moderadas), tem:
C_{V,\text{molar}}=\frac{5}{2}R,\qquad C_{P,\text{molar}}=\frac{7}{2}R.
Explicação curta e intuitiva: as moléculas possuem 3 modos translação e 2 modos rotação que contribuem com \tfrac{1}{2}R cada para C_V, totalizando \tfrac{5}{2}R; então C_P=C_V+R=\tfrac{7}{2}R.
  • O expoente adiabático (razão de calores) é
\gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{7/2}{5/2}=\frac{7}{5}=1,4.
  • Vou usar a constante universal dos gases R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 4

Relações adiabáticas e cálculo de T_{2}:
  • Para um gás ideal em um processo adiabático reversível vale a relação
T\,V^{\gamma-1}=\text{const}.
Também, combinando P V=n R T com P V^{\gamma}=\text{const}, obtém-se a relação direta entre pressões e temperaturas:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Substituindo números: \gamma-1=0,4 e (\gamma-1)/\gamma=0,4/1,4=\tfrac{2}{7}\approx0,285714. Assim
T_{2}=T_{1}\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\tfrac{2}{7}}.
  • Calculando numericamente:
T_{2}=373\times\left(\frac{0,8}{1,0}\right)^{\tfrac{2}{7}}=373\times(0,8)^{0,285714\ldots}.
Um cálculo intermediário útil é \ln(0,8)=-0,22314355, multiplicando por 0,285714 -0,063755, e exponenciando temos (0,8)^{2/7}\approx0,93827. Portanto
T_{2}\approx373\times0,93827\approx350,9\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T=T_{2}-T_{1}\approx350,9-373=-22,1\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo de \Delta U (usando \Delta U=n C_{V,\text{molar}}\Delta T):
  • Primeiro C_{V,\text{molar}}=\tfrac{5}{2}R=\tfrac{5}{2}\times8,314\approx20,786\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Como n=1,
\Delta U = n C_V \Delta T = 1\times20,786\times(-22,1)\\ \mathrm{J}.
  • Multiplicando,
\Delta U \approx -460,3\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a energia interna diminui (sinal negativo) porque o gás sofreu expansão adiabática e esfriou.

Passo 6

Cálculo de q e w usando a primeira lei e a natureza adiabática do processo:
  • Por ser adiabático reversível (isto é, P\,V^{\gamma}=\text{const} e sem troca de calor com o ambiente), temos
q=0.
  • Pela convenção escolhida, a primeira lei é \Delta U = q - w. Então com q=0,
w = -\Delta U.
  • Portanto
w \approx -(-460,3)\\ \mathrm{J}=+460,3\\ \mathrm{J}.
Interpretação do sinal: w>0 significa que o gás realizou trabalho sobre o meio (expansão), como esperado porque a pressão final é menor que a inicial.

Passo 7

Cálculo de \Delta H (variação de entalpia):
  • Para um gás ideal \Delta H = n C_P \Delta T. Com C_{P,\text{molar}}=\tfrac{7}{2}R,
C_P=\tfrac{7}{2}\times8,314\approx29,100\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Logo
\Delta H = 1\times29,100\times(-22,1)\\ \mathrm{J}\approx -644,5\\ \mathrm{J}.
Observação: também se verifica \Delta H=\Delta U + R\Delta T (com n=1), e isso dá o mesmo resultado numérico.

Passo 8

Resumo físico e verificação rápida de consistência:
  • O processo é adiabático e reversível, então q=0.
  • O gás se expande (queda de pressão e temperatura), portanto realiza trabalho sobre o entorno e perde energia interna: \Delta U<0, w>0.
  • Os valores obtidos são razoáveis em ordem de grandeza para 1 mol e essa variação de temperatura.

Resposta

w=+4,60\times10^{2}\\ \mathrm{J}
q=0\\ \mathrm{J}
\Delta U=-4,60\times10^{2}\\ \mathrm{J}
\Delta H=-6,44\times10^{2}\\ \mathrm{J}

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