2 A temperatura interna de uma parede de uma residência está a 16^{\circ} \mathrm{C}. Se o ar no quarto está a 21^{\circ} \mathrm{C}, qual é a máxima umidade relativa que o ar pode ter antes que a condensação ocorra sobre a parede? ( R: U R=73,1 \% )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temperatura da parede (superfície fria): \,16^\circ\mathrm{C}\,.
  • Temperatura do ar do quarto: \,21^\circ\mathrm{C}\,.
    Pergunta: qual é a máxima umidade relativa do ar (em porcentagem) antes de ocorrer condensação na parede?
    Observação importante (do enunciado): a resposta correta é \,73{,}1\% (vou chegar nesse valor passo a passo).

Passo 2

Entendendo o que causa a condensação (conceito que vamos usar):
  • Condensação na superfície ocorre quando o vapor d’água do ar encontra uma superfície cuja temperatura é menor ou igual ao ponto de orvalho (dew point) do ar.
  • A situação limite (máxima umidade relativa sem condensação) é quando o ponto de orvalho do ar é exatamente igual à temperatura da parede. Ou seja, para não haver condensação precisamos que o ponto de orvalho seja menor que \,16^\circ\mathrm{C}\,; o limite máximo é quando o ponto de orvalho é \,16^\circ\mathrm{C}\,.
  • Definição de umidade relativa (UR): é a razão entre a pressão parcial de vapor atual e e a pressão de saturação de vapor sobre água à temperatura do ar e_s(T_{\text{ar}}), multiplicada por 100\%. Em fórmula:
\text{UR} = 100\% \cdot \frac{e}{e_s(T_{\text{ar}})}.
No caso do limite que queremos, a pressão parcial real e é igual à pressão de saturação à temperatura do ponto de orvalho (aqui \,16^\circ\mathrm{C}), ou seja e = e_s(16^\circ\mathrm{C}). Portanto
\text{UR}_{\max} = 100\% \cdot \frac{e_s(16^\circ\mathrm{C})}{e_s(21^\circ\mathrm{C})}.

Passo 3

Como calcular e_s(T) (pressão de saturação) na prática? Vamos usar a fórmula de Magnus (uma fórmula empírica muito usada em meteorologia que dá boa precisão para temperaturas na faixa comum de ambientes):
e_s(T) = 6{,}112\;\exp\!\left(\frac{17{,}62\,T}{243{,}12 + T}\right),
onde:
  • e_s(T) está em hectopascal ( \,\mathrm{hPa}\,),
  • T é a temperatura em graus Celsius ( ^\circ\mathrm{C}),
  • \exp(\cdot) é a função exponencial (ou seja e^{(\cdot)}).
    Vou usar essa fórmula para calcular e_s(16^\circ\mathrm{C}) e e_s(21^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Calcular e_s(16^\circ\mathrm{C}) passo a passo:
Primeiro a razão dentro do exponencial:
\frac{17{,}62\cdot 16}{243{,}12+16}=\frac{281{,}92}{259{,}12}=1{,}0879\\ (\text{aprox.}).
Agora a exponencial:
\exp(1{,}0879)\approx 2{,}9685.
Multiplicando pelo fator inicial:
e_s(16^\circ\mathrm{C})=6{,}112\cdot 2{,}9685\approx 18{,}13\\ \mathrm{hPa}.

Passo 5

Calcular e_s(21^\circ\mathrm{C}) passo a passo:
Primeiro a razão dentro do exponencial:
\frac{17{,}62\cdot 21}{243{,}12+21}=\frac{370{,}02}{264{,}12}=1{,}4010\\ (\text{aprox.}).
Agora a exponencial:
\exp(1{,}4010)\approx 4{,}0603.
Multiplicando pelo fator inicial:
e_s(21^\circ\mathrm{C})=6{,}112\cdot 4{,}0603\approx 24{,}83\\ \mathrm{hPa}.

Passo 6

Agora usamos a expressão para a umidade relativa máxima:
\text{UR}_{\max} = 100\% \cdot \frac{e_s(16^\circ\mathrm{C})}{e_s(21^\circ\mathrm{C})} =100\% \cdot \frac{18{,}13}{24{,}83}.
Fazendo a divisão:
\frac{18{,}13}{24{,}83}\approx 0{,}73099.
Multiplicando por 100\%:
\text{UR}_{\max}\approx 73{,}10\%\approx 73{,}1\%.

Resposta

UR = 73{,}1\%

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