Um mol de um gás ideal, inicialmente a
e 1 bar, é levado a
e 10 bar por três processos diferentes, mecanicamente reversíveis:
- Primeiramente, o gás é aquecido a volume constante até que sua temperatura seja igual a
; então ele é comprimido isotermicamente até sua pressão atingir 10 bar.
- Primeiramente, o gás é aquecido a pressão constante até que sua temperatura seja igual a
; então ele é comprimido isotermicamente até sua pressão atingir 10 bar.
- Primeiramente, o gás é comprimido isotermicamente até 10 bar; então, ele é aquecido a pressão constante até
.
Calcule
e
em cada caso. Considere
e
. Alternativamente, considere
e
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo com calma para não nos perder):
O processo é feito de forma mecanicamente reversível, por três caminhos distintos (cada caminho é um conjunto de dois passos reversible):
- aquecer a volume constante até
, depois comprimir isotermicamente até ; - aquecer a pressão constante até
, depois comprimir isotermicamente até ; - comprimir isotermicamente até
a , depois aquecer à pressão constante até .
O enunciado pede para calcular
,
,
e
em cada caso e fornece duas alternativas de capacidades molares:
- Alternativa A:
. - Alternativa B:
.
Anotei também que usarei
universal; quando necessário darei valores numéricos usando
.
Passo 2
Vou fixar a convenção de sinais (muito importante):
positivo significa calor fornecido ao sistema;
positivo significa trabalho realizado pelo sistema. Com essa convenção, a primeira lei da termodinâmica é
Para gás ideal (caso aqui), temos as propriedades fundamentais que vou usar e explicar rapidinho:
- A energia interna depende só da temperatura, logo
Aqui
é o número de mols,
é a capacidade molar a volume constante (J·mol{-1}·K{-1}), e
é a variação de temperatura.
- A entalpia também depende só da temperatura para gás ideal:
- Trabalho reversível em uma transformação isotérmica (temperatura constante
) de um gás ideal:
porque para gás ideal
e
.
- Trabalho em uma transformação a pressão constante
(reversível) é
usando
. Em palavras: aquecer à pressão constante gera trabalho igual a
.
Essas fórmulas bastam para calcular tudo. Note que
e
são independentes do caminho (só dependem da variação de
), enquanto
e
dependem do caminho.
Passo 3
Calculemos
e
gerais (expressões em função de
e valores numéricos imediatos):
Agora computo os valores numéricos para as duas alternativas (usando
em fator):
Alternativa A (
):
Numericamente (com
):
Alternativa B (
):
Numericamente:
Observação: esses
e
valem iguais para todos os três caminhos (porque dependem só de
).
Passo 4
Antes de tratar cada caminho, calculo um dado útil para o caminho 1: pressão após o aquecimento a volume constante. Em aquecimento isotérmico a volume constante
const, pela lei dos gases:
Como
,
Também vou anotar dois logaritmos que aparecerão:
Passo 5
Etapa A (aquecimento a
const de
para
):
- Trabalho:
porque . - Calor trocado:
.
Etapa B (compressão isotérmica a
de
até
):
- Trabalho (reversível, trabalho feito pelo sistema):
Usando
(em bar) dá
Numericamente:
- Como é isotérmica,
e logo (calor saindo do sistema).
Total do processo 1:
Agora inserimos as alternativas:
Alternativa A (
):
. Assim
Alternativa B (
):
. Assim
Em ambos os casos
(valor calculado no Passo 3) e
(valor do Passo 3).
Passo 6
Etapa A (aquecimento a
const de
para
):
- Trabalho:
. (Explicando: e com isso vira .) - Calor:
.
Etapa B (compressão isotérmica em
de
até
):
- Trabalho:
Numericamente:
- Em isoterma,
e .
Total do processo 2:
Alternativa A (
,
):
Alternativa B (
,
):
E
conforme Passo 3 para cada alternativa.
Passo 7
Etapa A (compressão isotérmica a
de
até
):
- Trabalho:
Numericamente:
(Nota: vou usar valores numéricos consistentes abaixo usando cálculo preciso; o valor numérico final preciso será apresentado.)
Etapa B (aquecimento a
const
de
para
):
- Trabalho:
- Calor:
.
Total do processo 3:
Usando números:
(Esse valor é consistente com cálculo numérico preciso:
.)
O calor total:
Alternativa A (
,
):
mas usando o valor preciso de
e
calculado acima temos
.
Alternativa B (
,
):
E
seguem do Passo 3.
Passo 8
Vou juntar todos os valores numéricos finais, com arredondamento razoável (1 decimal). Trabalhei com
. Lembre-se:
negativo significa trabalho líquido feito sobre o sistema;
negativo significa calor saindo do sistema.
Resposta
Processo 1 (aquecimento a
const, depois isotérmica a
):
-
Alternativa A (
):
-
Alternativa B (
):
Processo 2 (aquecimento a
const, depois isotérmica a
):
-
Alternativa A (
):
-
Alternativa B (
):
Processo 3 (isotérmica a
até
, depois aquecimento a
const até
):
-
Alternativa A (
):
-
Alternativa B (
):