Um gás ideal, com
e
, é levado de
bar e
para
bar e
por intermédio dos seguintes processos mecanicamente reversíveis:
(b) Compressão adiabática, seguida por resfriamento a pressão constante.
(b) Compressão adiabática, seguida por resfriamento a pressão constante.
Passo 1
Enunciado e dados (o que nos é dado e o que pedem). Temos um gás ideal levado do estado inicial para o estado final por dois processos mecanicamente reversíveis: (b) compressão adiabática seguida de resfriamento a pressão constante. Os dados fornecidos são:
O que vamos calcular: o calor trocado
e o trabalho
ao longo do trajeto (b) (é interessante também obter
e
de cada etapa). Observação: a massa (ou número de mols) do gás não foi dada explicitamente; usaremos relações que eliminam
quando possível (ou usaremos
e relações entre
para obter expressões numéricas).
Passo 2
Primeiras observações úteis (unidades e razão de capacidades). Convertemos pressões para SI:
logo
A razão adiabática é
Passo 3
Checagem muito importante: produto
e
.
Portanto
. Como para gás ideal
, isto implica
. Consequência direta: a variação total de energia interna entre estado 1 e 2 é nula:
Assim, pela primeira lei da termodinâmica
, teremos
. (Boa notícia: não precisamos do valor de
para a energia total.)
Passo 4
Descrever o caminho (b) claramente em duas etapas:
- Etapa A: compressão adiabática reversível de
até a pressão . Chamamos o estado após a adiabática de com volume e temperatura . Nesta etapa . - Etapa B: resfriamento a pressão constante
de até (final). Nesta etapa constante.
Nosso plano: determinar
e
usando as relações adiabáticas, calcular
e
na adiabática; depois calcular
e
; por fim somar e verificar
.
Passo 5
Relações para adiabática reversível de gás ideal (passo A). Para processo adiabático reversível valem:
Usamos
(porque a adiabática termina na pressão
). Dessa igualdade obtemos
:
Passo 6
Cálculo numérico de
e
. Substituindo:
Calculando (aproximação numérica):
Agora
pode ser obtida por
. Como
,
ou, alternativamente,
e
confirmam
(consistência).
Passo 7
Trabalho e variação interna na adiabática (etapa A). Para adiabática reversível o calor é nulo:
O trabalho realizado pelo sistema (trajetória do estado 1 até
) é
Substituindo números (usar
e
,
):
Sinal negativo: o trabalho total da etapa A é negativo, ou seja, trabalho líquido é feito sobre o sistema (compressão). A variação de energia interna nesta etapa é
confirmando que a compressão aumentou a energia interna.
Passo 8
Etapa B: resfriamento a pressão constante
(de
até
). Para processo isobárico:
- Trabalho realizado pelo sistema:
- Calor trocado:
Usamos
para eliminar
. Assim
Como
, obtemos
Agora valores numéricos:
. Assim
Sinais negativos: nessa etapa o sistema libera calor (Q negativo) e trabalho ainda é feito sobre o sistema (W negativo) porque o volume diminui.
Passo 9
Total (etapas A + B) e verificação da primeira lei. Somamos:
Como previsto no Passo 3,
e assim
. Os valores numéricos mostram que, ao final do trajeto (b), o sistema recebeu trabalho líquido negativo (ou seja, recebeu trabalho do ambiente) e liberou calor para o ambiente; o balanço de energia interna é nulo porque as duas etapas se compensam em
.
Passo 10
Resumo físico e dica para prova. Interprete os sinais:
significa calor liberado total;
significa trabalho total realizado sobre o sistema (compressão líquida). Dica: sempre verifique
vs
— aqui foi a chave que simplificou (igualdade levou a
). Em prova, calcular
pela lei adiabática e então usar expressões
e
com eliminação de
via
é o caminho padrão.