Um gás ideal escoa através de um tubo horizontal em estado estacionário. Não há adição de calor nem realização de trabalho de eixo. A área da seção transversal do tubo varia com o comprimento, o que causa variação na velocidade. Deduza uma equação relacionando a temperatura com a velocidade do gás. Se nitrogênio a
escoa através de uma seção do tubo, a uma velocidade de
, qual será sua temperatura em outra seção, na qual sua velocidade é de
? Considere
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir uma equação que relaciona a temperatura com a velocidade do gás quando ele escoa em regime estacionário por um tubo horizontal sem adição de calor nem trabalho de eixo; (2) usar essa equação para calcular a temperatura do nitrogênio numa segunda seção do tubo, dada a temperatura e velocidade numa primeira seção e a nova velocidade.
Dados fornecidos relevantes:
Dados fornecidos relevantes:
- Temperatura inicial:
. - Velocidade na primeira seção:
. - Velocidade na segunda seção:
. - Calor específico a pressão constante:
. - O tubo é horizontal (variação de energia potencial desprezível).
- Regime estacionário e adiabático sem trabalho de eixo (logo não há troca de calor líquida nem trabalho de eixo).
Passo 2
Vamos aplicar a conservação de energia para um escoamento estacionário em uma seção de fluxo (equação da energia para regime permanente, por unidade de massa). A forma prática dessa equação, quando não há calor (
), nem trabalho de eixo nem variação de energia potencial significativa (tubo horizontal), é:
Aqui,
é a entalpia específica (energia térmica por unidade de massa) e
é a velocidade do escoamento. Essa equação diz que a soma da entalpia e da energia cinética por massa é constante ao longo do escoamento.
Passo 3
Para um gás ideal com calor específico a pressão constante constante (aproximação usual para esse tipo de problema), a entalpia específica relaciona-se com a temperatura por:
onde
é o calor específico a pressão constante (por unidade de massa) e
é a temperatura absoluta em kelvin. Explicando cada termo:
tem unidades de
,
está em
, então
fica em
.
Passo 4
Substituindo
na equação de energia do Passo 2 obtemos:
Isolando
vem a relação pedida entre temperatura e velocidade:
Interpretação rápida: se a velocidade aumenta (
) a temperatura diminui, porque parte da energia interna (entalpia) é convertida em energia cinética.
Passo 5
Agora vamos aplicar numericamente ao nitrogênio. Primeiro convertemos a temperatura inicial para kelvin:
Precisamos do valor numérico de
por unidade de massa. Foi dado
. Aqui
deve ser o constante específica do gás (constante dos gases para o nitrogênio, por unidade de massa). Calculamos
a partir da constante universal
e da massa molar do
:
Logo
Passo 6
Calculemos a variação de temperatura pelo termo cinético:
Compute os numeradores e denominadores passo a passo:
Portanto
Assim
Convertendo para Celsius: