Um gás ideal escoa através de um tubo horizontal em estado estacionário. Não há adição de calor nem realização de trabalho de eixo. A área da seção transversal do tubo varia com o comprimento, o que causa variação na velocidade. Deduza uma equação relacionando a temperatura com a velocidade do gás. Se nitrogênio a 150^{\circ} \mathrm{C} escoa através de uma seção do tubo, a uma velocidade de 2,5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, qual será sua temperatura em outra seção, na qual sua velocidade é de 50 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} ? Considere C_{p}=(7 / 2) R.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir uma equação que relaciona a temperatura com a velocidade do gás quando ele escoa em regime estacionário por um tubo horizontal sem adição de calor nem trabalho de eixo; (2) usar essa equação para calcular a temperatura do nitrogênio numa segunda seção do tubo, dada a temperatura e velocidade numa primeira seção e a nova velocidade.
Dados fornecidos relevantes:
  • Temperatura inicial: \,150^\circ\mathrm{C}\,.
  • Velocidade na primeira seção: \,v_1 = 2{,}5\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}\,.
  • Velocidade na segunda seção: \,v_2 = 50\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}\,.
  • Calor específico a pressão constante: \,C_p = \tfrac{7}{2}R\,.
  • O tubo é horizontal (variação de energia potencial desprezível).
  • Regime estacionário e adiabático sem trabalho de eixo (logo não há troca de calor líquida nem trabalho de eixo).

Passo 2

Vamos aplicar a conservação de energia para um escoamento estacionário em uma seção de fluxo (equação da energia para regime permanente, por unidade de massa). A forma prática dessa equação, quando não há calor ( q=0), nem trabalho de eixo nem variação de energia potencial significativa (tubo horizontal), é:
h_1+\frac{v_1^{2}}{2}=h_2+\frac{v_2^{2}}{2}.
Aqui, h é a entalpia específica (energia térmica por unidade de massa) e v é a velocidade do escoamento. Essa equação diz que a soma da entalpia e da energia cinética por massa é constante ao longo do escoamento.

Passo 3

Para um gás ideal com calor específico a pressão constante constante (aproximação usual para esse tipo de problema), a entalpia específica relaciona-se com a temperatura por:
h=C_p T,
onde C_p é o calor específico a pressão constante (por unidade de massa) e T é a temperatura absoluta em kelvin. Explicando cada termo: C_p tem unidades de \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}, T está em \mathrm{K}, então h fica em \mathrm{J\\ kg^{-1}}.

Passo 4

Substituindo h=C_p T na equação de energia do Passo 2 obtemos:
C_p T_1+\frac{v_1^{2}}{2}=C_p T_2+\frac{v_2^{2}}{2}.
Isolando T_2 vem a relação pedida entre temperatura e velocidade:
T_2 = T_1 + \frac{v_1^{2}-v_2^{2}}{2\,C_p}.
Interpretação rápida: se a velocidade aumenta ( v_2>v_1) a temperatura diminui, porque parte da energia interna (entalpia) é convertida em energia cinética.

Passo 5

Agora vamos aplicar numericamente ao nitrogênio. Primeiro convertemos a temperatura inicial para kelvin:
T_1 = 150^\circ\mathrm{C} = 150 + 273{,}15 = 423{,}15\\ \mathrm{K}.
Precisamos do valor numérico de C_p por unidade de massa. Foi dado C_p=\tfrac{7}{2}R. Aqui R deve ser o constante específica do gás (constante dos gases para o nitrogênio, por unidade de massa). Calculamos R a partir da constante universal R_u e da massa molar do \mathrm{N_2}:
R = \frac{R_u}{M} = \frac{8{,}314462618\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}}{0{,}0280134\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}}\approx 296{,}8\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}.
Logo
C_p = \frac{7}{2}R = 3{,}5\cdot 296{,}8 \approx 1038{,}8\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}.

Passo 6

Calculemos a variação de temperatura pelo termo cinético:
\Delta T = \frac{v_1^{2}-v_2^{2}}{2C_p} = \frac{(2{,}5)^{2}-(50)^{2}}{2\cdot 1038{,}8}.
Compute os numeradores e denominadores passo a passo:
v_1^{2} = 2{,}5^{2} = 6{,}25,\qquad v_2^{2} = 50^{2} = 2500,
v_1^{2}-v_2^{2} = 6{,}25-2500 = -2493{,}75,
2C_p = 2\cdot 1038{,}8 = 2077{,}6.
Portanto
\Delta T = \frac{-2493{,}75}{2077{,}6}\approx -1{,}2007\\ \mathrm{K}.
Assim
T_2 = T_1 + \Delta T = 423{,}15 - 1{,}2007 \approx 421{,}9493\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius:
T_2 = 421{,}9493 - 273{,}15 \approx 148{,}7993^\circ\mathrm{C}\approx 148{,}80^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_2 = T_1 + \frac{v_1^{2}-v_2^{2}}{2C_p}.
T_2 \approx 148{,}80^\circ\mathrm{C}

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