Um mol de um gás ideal, inicialmente a
e 300 K , é comprimido, isotermicamente, de
a
. Calcule o trabalho realizado; (a) Reversivelmente e (b) Irreversivelmente, contra uma pressão externa de 5 atm . Calcule a pressão final e esboce graficamente o processo. (2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas claras (peguei todos os números do enunciado):
-
Quantidades e condições iniciais:
- Número de mols:
. - Temperatura (isotérmico):
. - Pressão inicial:
. - Volume inicial:
. - Volume final:
.
- Número de mols:
-
Parte (a): calcular o trabalho realizado no processo isotérmico quando a compressão é feita reversivelmente.
-
Parte (b): calcular o trabalho realizado se a compressão for irreversível contra uma pressão externa constante
. -
Calcular a pressão final do gás após a compressão até
. -
Esboçar graficamente o processo (ponto inicial e final e os caminhos reversível e irreversível no diagrama
vs ).
Observação de forma: aqui vou usar
na unidade conveniente
, que vale aproximadamente
.
Passo 2
Entender a lei dos gases ideais e calcular
.
- Para um gás ideal em temperatura constante vale a relação
onde:
-
é a pressão do gás (em aqui), -
é o volume (em ), -
é o número de mols, -
é a constante dos gases na unidade escolhida, -
é a temperatura em . -
Podemos calcular
usando os dados iniciais (ou diretamente ):
Esse valor é útil nas fórmulas do trabalho em processo isotérmico.
Passo 3
Trabalho reversível em processo isotérmico (derivação e aplicação).
-
Definição e sinal: aqui vou usar a convenção em que
é o trabalho realizado pelo sistema (pelo gás). Assim: -
significa trabalho realizado pelo gás (expansão), -
significa trabalho realizado sobre o gás (compressão).
-
-
Para um processo reversível isotérmico o trabalho é obtido pela integral do
do gás contra :
Como o processo é reversível e isotérmico, a pressão do gás em cada instante é dada por
. Substituindo e integrando:
- Agora substituir
, , :
- Calcular numericamente:
. Logo
(Atenção: este valor difere do cálculo que usa
numericamente; por consistência usamos
.)
- Converter para joules usando
:
Comentário didático rápido: se tivesse usado
e
diretamente, obter-se-ia o mesmo resultado. O passo importante é lembrar que para compressão isotérmica reversível o trabalho feito pelo gás é negativo e dado pela expressão com o logaritmo.
Passo 4
Trabalho irreversível contra pressão externa constante
.
- Para um processo irreversível conduzido contra uma pressão externa constante, a pressão que aparece no cálculo do trabalho é
, porque o gás realiza trabalho contra essa pressão fixa:
(Lembrar:
é trabalho realizado pelo gás.)
- Substituindo
, , :
- Converter para joules:
Interpretação: o trabalho realizado pelo gás é negativo (compressão). Em magnitude, a compressão reversível exigiu mais trabalho ser “colocado no gás” (valor mais negativo) do que a compressão irreversível contra 5 atm — isso acontece porque o processo reversível maximiza o trabalho trocado quando se mantém o sistema sempre arbitrariamente próximo do equilíbrio.
Passo 5
Pressão final do gás após a compressão para
.
- Como o processo é isotérmico e o gás é ideal, a pressão final do gás é dada por
Usando
e
:
Observação: mesmo que a compressão contra uma pressão externa fixa de
tenha sido considerada para calcular o trabalho irreversível, o estado final do gás (se o enunciado fixou
) determina que a pressão do gás deve ser
pela lei dos gases ideais. (Num processo real, se a pressão externa fosse mantida rigidamente em
sem ajuste, o equilíbrio final faria
com outro volume; aqui o enunciado fixa
e pede o trabalho contra esse
, por isso usamos a fórmula padrão.)
Passo 6
Como esboçar graficamente o processo
vs
(instrução para desenho).
-
Marcar dois pontos no gráfico
(vertical, em ) versus (horizontal, em ): - Ponto inicial:
. - Ponto final:
.
- Ponto inicial:
-
Traçar a curva isotérmica reversível
(uma hipérbole) ligando esses pontos; essa é a trajetória reversível suave. -
Traçar também a linha do processo irreversível contra
: no diagrama desenha-se uma linha horizontal em indo de a . A área sob cada curva entre e representa o trabalho realizado pelo gás (área sob a curva até o eixo ); compare as áreas: a área sob a linha horizontal está entre as duas abscissas, mas como o valor é maior do que a hipérbole naquele intervalo, isso visualmente mostra a diferença dos trabalhos (lembre-se do sinal: para compressão, área positiva sob a curva corresponde a trabalho realizado pelo gás — aqui será negativo porque ).
Passo 7
Resumo interpretativo (motivação amigável):
- Compressão reversível exige mais trabalho ser entregue ao gás (magnitude maior), por isso
é mais negativo do que contra . - A pressão final do gás é fixada pela lei dos gases ideais e vale
para a .
Resposta
(a) Reversivelmente (trabalho realizado pelo gás):
(b) Irreversivelmente contra (trabalho realizado pelo gás):
Pressão final do gás:
(b) Irreversivelmente contra
Pressão final do gás: