Um mol de um gás ideal, inicialmente a 2,0 \mathrm{~atm} e 300 K , é comprimido, isotermicamente, de 4,0 \mathrm{~L} a 2,0 \mathrm{~L}. Calcule o trabalho realizado; (a) Reversivelmente e (b) Irreversivelmente, contra uma pressão externa de 5 atm . Calcule a pressão final e esboce graficamente o processo. (2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas claras (peguei todos os números do enunciado):
  • Quantidades e condições iniciais:
    • Número de mols: n=1.
    • Temperatura (isotérmico): T=300\\ \mathrm{K}.
    • Pressão inicial: P_i=2{,}0\\ \mathrm{atm}.
    • Volume inicial: V_i=4{,}0\\ \mathrm{L}.
    • Volume final: V_f=2{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Parte (a): calcular o trabalho realizado no processo isotérmico quando a compressão é feita reversivelmente.
  • Parte (b): calcular o trabalho realizado se a compressão for irreversível contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}}=5\\ \mathrm{atm}.
  • Calcular a pressão final do gás após a compressão até V_f.
  • Esboçar graficamente o processo (ponto inicial e final e os caminhos reversível e irreversível no diagrama P vs V).
Observação de forma: aqui vou usar R na unidade conveniente \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, que vale aproximadamente R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 2

Entender a lei dos gases ideais e calcular nRT.
  • Para um gás ideal em temperatura constante vale a relação
P V = n R T,
onde:
  • P é a pressão do gás (em \mathrm{atm} aqui),
  • V é o volume (em \mathrm{L}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases na unidade escolhida,
  • T é a temperatura em \mathrm{K}.
  • Podemos calcular nRT usando os dados iniciais (ou diretamente P_i V_i):
n R T = P_i V_i = (2{,}0\\ \mathrm{atm})\cdot(4{,}0\\ \mathrm{L}) = 8{,}0\\ \mathrm{L\cdot atm}.
Esse valor é útil nas fórmulas do trabalho em processo isotérmico.

Passo 3

Trabalho reversível em processo isotérmico (derivação e aplicação).
  • Definição e sinal: aqui vou usar a convenção em que W é o trabalho realizado pelo sistema (pelo gás). Assim:
    • W>0 significa trabalho realizado pelo gás (expansão),
    • W<0 significa trabalho realizado sobre o gás (compressão).
  • Para um processo reversível isotérmico o trabalho é obtido pela integral do P do gás contra dV:
W_{\text{rev}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
Como o processo é reversível e isotérmico, a pressão do gás em cada instante é dada por P(V)=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo e integrando:
W_{\text{rev}}=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Agora substituir nRT=8{,}0\\ \mathrm{L\cdot atm}, V_i=4{,}0\\ \mathrm{L}, V_f=2{,}0\\ \mathrm{L}:
W_{\text{rev}} = 8{,}0\\ \ln\!\left(\frac{2{,}0}{4{,}0}\right)\\ \mathrm{L\cdot atm} = 8{,}0\\ \ln(0{,}5)\\ \mathrm{L\cdot atm}.
  • Calcular numericamente: \ln(0{,}5)=-\ln 2\approx -0{,}693147. Logo
W_{\text{rev}} \approx 8{,}0\times(-0{,}693147)= -5{,}5452\\ \mathrm{L\cdot atm}.
(Atenção: este valor difere do cálculo que usa R numericamente; por consistência usamos nRT=P_iV_i=8{,}0\\ \mathrm{L\cdot atm}.)
  • Converter para joules usando 1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}:
W_{\text{rev}} \approx -5{,}5452\times101{,}325 \approx -562{,}0\\ \mathrm{J}.
Comentário didático rápido: se tivesse usado R=0{,}082057 e W=nRT\ln(V_f/V_i) diretamente, obter-se-ia o mesmo resultado. O passo importante é lembrar que para compressão isotérmica reversível o trabalho feito pelo gás é negativo e dado pela expressão com o logaritmo.

Passo 4

Trabalho irreversível contra pressão externa constante P_{\text{ext}}.
  • Para um processo irreversível conduzido contra uma pressão externa constante, a pressão que aparece no cálculo do trabalho é P_{\text{ext}}, porque o gás realiza trabalho contra essa pressão fixa:
W_{\text{irrev}} = \int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV = P_{\text{ext}}(V_f - V_i).
(Lembrar: W é trabalho realizado pelo gás.)
  • Substituindo P_{\text{ext}}=5{,}0\\ \mathrm{atm}, V_i=4{,}0\\ \mathrm{L}, V_f=2{,}0\\ \mathrm{L}:
W_{\text{irrev}} = 5{,}0\cdot(2{,}0-4{,}0)\\ \mathrm{L\cdot atm} = 5{,}0\cdot(-2{,}0) = -10{,}0\\ \mathrm{L\cdot atm}.
  • Converter para joules:
W_{\text{irrev}} = -10{,}0\times101{,}325 \approx -1{,}013{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{J}\approx -1{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o trabalho realizado pelo gás é negativo (compressão). Em magnitude, a compressão reversível exigiu mais trabalho ser “colocado no gás” (valor mais negativo) do que a compressão irreversível contra 5 atm — isso acontece porque o processo reversível maximiza o trabalho trocado quando se mantém o sistema sempre arbitrariamente próximo do equilíbrio.

Passo 5

Pressão final do gás após a compressão para V_f.
  • Como o processo é isotérmico e o gás é ideal, a pressão final do gás é dada por
P_f=\frac{nRT}{V_f}.
Usando nRT=8{,}0\\ \mathrm{L\cdot atm} e V_f=2{,}0\\ \mathrm{L}:
P_f=\frac{8{,}0}{2{,}0}=4{,}0\\ \mathrm{atm}.
Observação: mesmo que a compressão contra uma pressão externa fixa de 5{,}0\\ \mathrm{atm} tenha sido considerada para calcular o trabalho irreversível, o estado final do gás (se o enunciado fixou V_f=2{,}0\\ \mathrm{L}) determina que a pressão do gás deve ser 4{,}0\\ \mathrm{atm} pela lei dos gases ideais. (Num processo real, se a pressão externa fosse mantida rigidamente em 5{,}0\\ \mathrm{atm} sem ajuste, o equilíbrio final faria P_{\text{gas}}=P_{\text{ext}} com outro volume; aqui o enunciado fixa V_f e pede o trabalho contra esse P_{\text{ext}}, por isso usamos a fórmula padrão.)

Passo 6

Como esboçar graficamente o processo P vs V (instrução para desenho).
  • Marcar dois pontos no gráfico P (vertical, em \mathrm{atm}) versus V (horizontal, em \mathrm{L}):
    • Ponto inicial: (V_i,P_i)=(4{,}0\\ \mathrm{L},\\\ 2{,}0\\ \mathrm{atm}).
    • Ponto final: (V_f,P_f)=(2{,}0\\ \mathrm{L},\\\ 4{,}0\\ \mathrm{atm}).
  • Traçar a curva isotérmica reversível P(V)=\dfrac{8{,}0}{V} (uma hipérbole) ligando esses pontos; essa é a trajetória reversível suave.
  • Traçar também a linha do processo irreversível contra P_{\text{ext}}=5{,}0\\ \mathrm{atm}: no diagrama P\times V desenha-se uma linha horizontal em P=5{,}0\\ \mathrm{atm} indo de V=4{,}0 a V=2{,}0. A área sob cada curva entre V_i e V_f representa o trabalho realizado pelo gás (área sob a curva até o eixo V); compare as áreas: a área sob a linha horizontal P=5{,}0 está entre as duas abscissas, mas como o valor é maior do que a hipérbole naquele intervalo, isso visualmente mostra a diferença dos trabalhos (lembre-se do sinal: para compressão, área positiva sob a curva corresponde a trabalho realizado pelo gás — aqui será negativo porque V_f<V_i).

Passo 7

Resumo interpretativo (motivação amigável):
  • Compressão reversível exige mais trabalho ser entregue ao gás (magnitude maior), por isso W_{\text{rev}} é mais negativo do que W_{\text{irrev}} contra 5{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • A pressão final do gás é fixada pela lei dos gases ideais e vale 4{,}0\\ \mathrm{atm} para V_f=2{,}0\\ \mathrm{L} a T=300\\ \mathrm{K}.

Resposta

(a) Reversivelmente (trabalho realizado pelo gás): W_{\text{rev}} = -5{,}55\\ \mathrm{L\cdot atm} = -5{,}55\times101{,}325\\ \mathrm{J} \approx -562{,}0\\ \mathrm{J}
(b) Irreversivelmente contra P_{\text{ext}}=5{,}0\\ \mathrm{atm} (trabalho realizado pelo gás): W_{\text{irrev}} = -10{,}0\\ \mathrm{L\cdot atm} = -1{,}013{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{J} \approx -1{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{J}
Pressão final do gás: P_f = 4{,}0\\ \mathrm{atm}

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