(VALOR 3,0) Ar a 15^{\circ} \mathrm{C} escoa a 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma placa plana de 0,6 \mathrm{~m} de comprimento. A placa fornece um fluxo superficial constante de 420 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} para o ar, porém em sua superficie, por razões de segurança, não se pode ultrapassar uma temperatura de 110^{\circ} \mathrm{C}. Pergunta-se:
a) A superfície da placa será danificada em algum ponto? Justifique.
b) Qual é a temperatura média superficial da placa?
\overline{\left(T_{S}-T_{\infty}\right)}=\frac{1}{L} \int_{0}^{L}\left(T_{S}-T_{\infty}\right) d x
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Temperatura do ar livre: \,T_{\infty} = 15^\circ\mathrm{C}.
Velocidade do ar: \,U_{\infty} = 1{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Comprimento da placa: \,L = 0{,}6\\ \mathrm{m}.
Fluxo de calor superficial constante fornecido pela placa: \,q'' = 420\\ \mathrm{W/m^2}.
Temperatura máxima de segurança na superfície: \,T_{S,\mathrm{máx}} = 110^\circ\mathrm{C}á.
Perguntas:
a) A superfície da placa será danificada em algum ponto? (isto é, existe algum x\in[0,L] tal que T_S(x) > 110^\circ\mathrm{C}?)
b) Qual é a temperatura média superficial da placa, definida por
Identificar o regime de escoamento (laminar ou turbulento) sobre a placa — isso diz qual correlação de transferência de calor usar.
Para isso precisamos do número de Reynolds localizado em x=L:
\mathrm{Re}_L = \frac{U_{\infty} L}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática do ar. Vou usar valores típicos para ar a temperaturas moderadas: \nu \approx 1{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}. (Explicando: \nu varia pouco com temperatura na faixa aqui e escolher um valor típico dá boa aproximação; se fosse necessário muito rigor faríamos iterações com propriedades no “film temperature”.)
Interpretação: como \mathrm{Re}_L \approx 7{,}2\times 10^{4} < 5\times 10^{5} (valor típico de transição laminar→turbulento para uma placa plana), o escoamento permanece laminar ao longo de toda a placa. Logo usamos correlações para escoamento laminar.
Passo 3
Apresentar a correlação apropriada e derivar a expressão para a temperatura da superfície.
Para escoamento laminar sobre placa plana com fluxo de calor superficial uniforme (condição de fluxo de calor constante), a correlação para o número de Nusselt local é:
(Observação didática: compare com o caso de superfície isoterma, onde o fator numérico é 0{,}332 ao invés de 0{,}453; isso mostra que para fluxo de calor constante a troca é um pouco maior localmente.)
A temperatura superficial local resulta de equilibrar o fluxo imposto q'' com a convecção:
(Explicando: esses valores são tabelados; alterar ligeiramente por escolher outra temperatura muda pouco o resultado e não altera a conclusão qualitativa.)
Agora C:C = 0{,}453\times 0{,}026 \times 346{,}41 \times 0{,}892 \approx 3{,}634\\ \left(\mathrm{W\\ m^{-1/2}\,m^{-2}K^{-1}}\right).(Unidades combinadas levam a h(x)=C\,x^{-1/2} com h em \mathrm{W/(m^2\cdot K)} quando x está em metros.)
Passo 5
Calcular a temperatura máxima em x=L e verificar se ultrapassa o limite de segurança.
Primeiro o coeficiente de convecção na extremidade:
Comparação com o limite de segurança: \,104{,}6^\circ\mathrm{C} < 110^\circ\mathrm{C}. Assim, com as aproximações feitas, a superfície não será danificada (não atinge 110^\circ\mathrm{C}).
Passo 6
Calcular a temperatura média superficial pedida pela fórmula dada.
Observação prática: isso significa que a média é \tfrac{2}{3} do valor máximo \bigl(T_S(L)-T_{\infty}\bigr), porque o máximo corresponde a x^{1/2} em x=L.
Usei propriedades médias do ar (k,\\ \nu,\\ \mathrm{Pr}) constantes. Para maior precisão poderia-se iterar usando a temperatura de filme \,T_f=(T_{\infty}+T_S)/2 e atualizar as propriedades — isso geralmente muda pouco o resultado aqui e não alteraria a conclusão qualitativa (máx \approx 104{,}6^\circ\mathrm{C} ainda abaixo do limite).
A suposição de regime laminar foi verificada pelo cálculo de \mathrm{Re}_L; se \mathrm{Re}_L tivesse sido maior que \sim 5\times 10^5 teríamos de usar correlações para regime turbulento ou de transição.
Resposta
a) Não. A temperatura máxima na superfície ocorre em x=L e é T_S(L)\approx 104{,}6^\circ\mathrm{C}, que é menor que 110^\circ\mathrm{C}.
b) Temperatura média superficial \displaystyle \overline{T_S}\approx 74{,}7^\circ\mathrm{C}.