(VALOR 3,0) Ar a 15^{\circ} \mathrm{C} escoa a 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma placa plana de 0,6 \mathrm{~m} de comprimento. A placa fornece um fluxo superficial constante de 420 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} para o ar, porém em sua superficie, por razões de segurança, não se pode ultrapassar uma temperatura de 110^{\circ} \mathrm{C}. Pergunta-se:
a) A superfície da placa será danificada em algum ponto? Justifique.
b) Qual é a temperatura média superficial da placa?
\overline{\left(T_{S}-T_{\infty}\right)}=\frac{1}{L} \int_{0}^{L}\left(T_{S}-T_{\infty}\right) d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do ar livre: \,T_{\infty} = 15^\circ\mathrm{C}.
    • Velocidade do ar: \,U_{\infty} = 1{,}8\\ \mathrm{m/s}.
    • Comprimento da placa: \,L = 0{,}6\\ \mathrm{m}.
    • Fluxo de calor superficial constante fornecido pela placa: \,q'' = 420\\ \mathrm{W/m^2}.
    • Temperatura máxima de segurança na superfície: \,T_{S,\mathrm{máx}} = 110^\circ\mathrm{C}á.
  • Perguntas:
    a) A superfície da placa será danificada em algum ponto? (isto é, existe algum x\in[0,L] tal que T_S(x) > 110^\circ\mathrm{C}?)
    b) Qual é a temperatura média superficial da placa, definida por
    \overline{\left(T_{S}-T_{\infty}\right)}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\left(T_{S}-T_{\infty}\right)\,dx \; ?

Passo 2

Identificar o regime de escoamento (laminar ou turbulento) sobre a placa — isso diz qual correlação de transferência de calor usar.
  • Para isso precisamos do número de Reynolds localizado em x=L:
    \mathrm{Re}_L = \frac{U_{\infty} L}{\nu},
    onde \nu é a viscosidade cinemática do ar. Vou usar valores típicos para ar a temperaturas moderadas: \nu \approx 1{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}. (Explicando: \nu varia pouco com temperatura na faixa aqui e escolher um valor típico dá boa aproximação; se fosse necessário muito rigor faríamos iterações com propriedades no “film temperature”.)
  • Calculemos:
    \mathrm{Re}_L = \frac{1{,}8\times 0{,}6}{1{,}5\times 10^{-5}} = \frac{1{,}08}{1{,}5\times 10^{-5}} \approx 7{,}2\times 10^{4}.
  • Interpretação: como \mathrm{Re}_L \approx 7{,}2\times 10^{4} < 5\times 10^{5} (valor típico de transição laminar→turbulento para uma placa plana), o escoamento permanece laminar ao longo de toda a placa. Logo usamos correlações para escoamento laminar.

Passo 3

Apresentar a correlação apropriada e derivar a expressão para a temperatura da superfície.
  • Para escoamento laminar sobre placa plana com fluxo de calor superficial uniforme (condição de fluxo de calor constante), a correlação para o número de Nusselt local é:
    \mathrm{Nu}_x = 0{,}453\\ \mathrm{Re}_x^{1/2}\\ \mathrm{Pr}^{1/3},
    onde
    • \mathrm{Re}_x = \dfrac{U_{\infty} x}{\nu} é o número de Reynolds local,
    • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl do fluido,
    • \mathrm{Nu}_x = \dfrac{h(x)\,x}{k} e h(x) é o coeficiente local de transferência de calor convectiva e k é a condutividade térmica do ar.
  • Da definição de \mathrm{Nu}_x temos
    h(x)=\frac{\mathrm{Nu}_x\,k}{x} = \frac{0{,}453\,k\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}}{x}.
    Substituindo \mathrm{Re}_x = \dfrac{U_{\infty} x}{\nu},
    h(x) = 0{,}453\,k\,\left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{1/2}\mathrm{Pr}^{1/3}\,x^{-1/2}.
    (Observação didática: compare com o caso de superfície isoterma, onde o fator numérico é 0{,}332 ao invés de 0{,}453; isso mostra que para fluxo de calor constante a troca é um pouco maior localmente.)
  • A temperatura superficial local resulta de equilibrar o fluxo imposto q'' com a convecção:
    q'' = h(x)\,\bigl(T_S(x)-T_{\infty}\bigr) \quad\Rightarrow\quad T_S(x)-T_{\infty} = \frac{q''}{h(x)}.
    Substituindo h(x) em termos de x^{-1/2} obtemos a dependência
    T_S(x)-T_{\infty} = \frac{q''}{C}\,x^{1/2},
    onde definimos para simplificar
    C = 0{,}453\,k\,\left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{1/2}\mathrm{Pr}^{1/3}.
    Portanto a diferença de temperatura cresce como \sqrt{x} e o máximo ocorre em x=L.

Passo 4

Escolher valores das propriedades termofísicas do ar e calcular a constante C. Vou usar valores típicos (médios) do ar a temperaturas moderadas:
  • Condutividade térmica: \,k \approx 0{,}026\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Número de Prandtl: \,\mathrm{Pr} \approx 0{,}71.
  • Viscosidade cinemática: \,\nu \approx 1{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
(Explicando: esses valores são tabelados; alterar ligeiramente por escolher outra temperatura muda pouco o resultado e não altera a conclusão qualitativa.)
  • Calculemos \left(\dfrac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{1/2} e \mathrm{Pr}^{1/3}: \left(\frac{U_{\infty}}{\nu}\right)^{1/2} = \left(\frac{1{,}8}{1{,}5\times 10^{-5}}\right)^{1/2} = \sqrt{1{,}2\times 10^{5}} \approx 346{,}41,
\mathrm{Pr}^{1/3} = 0{,}71^{1/3} \approx 0{,}892.
  • Agora C: C = 0{,}453\times 0{,}026 \times 346{,}41 \times 0{,}892 \approx 3{,}634\\ \left(\mathrm{W\\ m^{-1/2}\,m^{-2}K^{-1}}\right).(Unidades combinadas levam a h(x)=C\,x^{-1/2} com h em \mathrm{W/(m^2\cdot K)} quando x está em metros.)

Passo 5

Calcular a temperatura máxima em x=L e verificar se ultrapassa o limite de segurança.
  • Primeiro o coeficiente de convecção na extremidade:
    h(L) = C\,L^{-1/2} = 3{,}634\cdot L^{-1/2}.
    Como \,L = 0{,}6\\ \mathrm{m},
    L^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{0{,}6}} \approx 1{,}290,
    então
    h(L) \approx 3{,}634 \times 1{,}290 \approx 4{,}69\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • A diferença de temperatura na extremidade:
    T_S(L)-T_{\infty} = \frac{q''}{h(L)} = \frac{420}{4{,}69} \approx 89{,}6\\ \mathrm{K}.
    Portanto a temperatura superficial máxima é
    T_S(L) = T_{\infty} + 89{,}6\\ \mathrm{K} = 15^\circ\mathrm{C} + 89{,}6\\ \mathrm{K} \approx 104{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • Comparação com o limite de segurança: \,104{,}6^\circ\mathrm{C} < 110^\circ\mathrm{C}. Assim, com as aproximações feitas, a superfície não será danificada (não atinge 110^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

Calcular a temperatura média superficial pedida pela fórmula dada.
  • Já vimos que
    T_S(x)-T_{\infty} = \frac{q''}{C}\,x^{1/2}.
    Logo a média é
    \overline{\left(T_{S}-T_{\infty}\right)} = \frac{1}{L}\int_{0}^{L}\frac{q''}{C}\,x^{1/2}\,dx = \frac{q''}{C}\cdot\frac{1}{L}\cdot\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^{L} = \frac{q''}{C}\cdot\frac{2}{3}L^{1/2}.
  • Observação prática: isso significa que a média é \tfrac{2}{3} do valor máximo \bigl(T_S(L)-T_{\infty}\bigr), porque o máximo corresponde a x^{1/2} em x=L.
  • Calculando numericamente:
    \overline{\left(T_{S}-T_{\infty}\right)} = \frac{2}{3}\times 89{,}6\\ \mathrm{K} \approx 59{,}7\\ \mathrm{K}.
    Assim a temperatura média da superfície é
    \overline{T_S} = T_{\infty} + 59{,}7\\ \mathrm{K} = 15^\circ\mathrm{C} + 59{,}7\\ \mathrm{K} \approx 74{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Comentários finais e validade da aproximação.
  • Usei propriedades médias do ar ( k,\\ \nu,\\ \mathrm{Pr}) constantes. Para maior precisão poderia-se iterar usando a temperatura de filme \,T_f=(T_{\infty}+T_S)/2 e atualizar as propriedades — isso geralmente muda pouco o resultado aqui e não alteraria a conclusão qualitativa (máx \approx 104{,}6^\circ\mathrm{C} ainda abaixo do limite).
  • A suposição de regime laminar foi verificada pelo cálculo de \mathrm{Re}_L; se \mathrm{Re}_L tivesse sido maior que \sim 5\times 10^5 teríamos de usar correlações para regime turbulento ou de transição.

Resposta

a) Não. A temperatura máxima na superfície ocorre em x=L e é T_S(L)\approx 104{,}6^\circ\mathrm{C}, que é menor que 110^\circ\mathrm{C}.
b) Temperatura média superficial \displaystyle \overline{T_S}\approx 74{,}7^\circ\mathrm{C}.

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