Um mol de ar, inicialmente a 150^{\circ} \mathrm{C} e 8 bar, sofre as seguintes modificações mecanicamente reversíveis. Ele expande isotermicamente até uma pressão tal que, quando é resfriado a volume constante até 50^{\circ} \mathrm{C}, sua pressão final é de 3 bar. Admitindo o ar como um gás ideal com C_{P}=(7 / 2) R e C_{V}=(5 / 2) R, calcule W, Q, \Delta U e \Delta H.

Passo 1

O enunciado dá um mol de ar que passa por duas transformações mecanicamente reversíveis em sequência: uma expansão isotérmica seguida de um resfriamento a volume constante. As informações e o que se pede são:
  • Dados do estado inicial (1): n=1 mol, T_1=150^\circ\mathrm{C}, p_1=8\\ \mathrm{bar}.
  • Transformação 1→2: expansão isotérmica (mesma temperatura que o estado 1) até uma pressão p_2 não informada.
  • Transformação 2→3: resfriamento a volume constante desde o estado 2 até T_3=50^\circ\mathrm{C}, e o enunciado diz que a pressão final do estado 3 é p_3=3\\ \mathrm{bar}.
  • Propriedades do gás (ar ideal, 1 mol): C_P=\tfrac{7}{2}R e C_V=\tfrac{5}{2}R.
  • Convencionalmente usaremos a primeira lei da termodinâmica na forma \Delta U=Q-W, onde W é o trabalho realizado pelo sistema.
O que se pede: calcular W, Q, \Delta U e \Delta H para o processo completo (1→2→3).

Passo 2

Primeiro converto temperaturas para Kelvin e registro valores numéricos de constantes:
T_1 = 150^\circ\mathrm{C}=150+273{,}15=423{,}15\\ \mathrm{K},
T_3 = 50^\circ\mathrm{C}=50+273{,}15=323{,}15\\ \mathrm{K}.
Constante dos gases:
R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Capacidades dadas:
C_V=\frac{5}{2}R=2{,}5R,\qquad C_P=\frac{7}{2}R=3{,}5R.

Passo 3

Determino a pressão p_2 no estado intermediário usando a segunda etapa (2→3) que é a resfriamento a volume constante. Para volume constante e gás ideal vale \dfrac{p}{T}= constante, portanto
\frac{p_2}{T_2}=\frac{p_3}{T_3}.
Como a etapa 1→2 é isotérmica, T_2=T_1. Logo
p_2 = p_3\frac{T_2}{T_3}=p_3\frac{T_1}{T_3}.

Passo 4

Calculo numérico de p_2:
p_2 = 3\\ \mathrm{bar}\times\frac{423{,}15}{323{,}15}.
Faço a razão
\frac{423{,}15}{323{,}15}=1{,}30944\\ (\text{aprox.}),
portanto
p_2 \approx 3\times 1{,}30944 = 3{,}9283\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

Agora calculo o trabalho realizado durante a expansão isotérmica reversível 1→2. Para um gás ideal isotérmico e reversível:
W_{1\to2}=nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}.
Usando pV=nRT e T constante, tem-se p_1V_1=p_2V_2 e assim \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{p_1}{p_2}. Logo
W_{1\to2}=nRT_1\ln\frac{p_1}{p_2}.
Substituo valores (com n=1):
W_{1\to2}=1\cdot 8{,}314\cdot 423{,}15\cdot\ln\!\left(\frac{8}{3{,}9283}\right).
Calculo passo a passo:
nRT_1=8{,}314\times 423{,}15\approx 3518{,}26\\ \mathrm{J},
\frac{p_1}{p_2}=\frac{8}{3{,}9283}\approx 2{,}0366,
\ln\!\left(2{,}0366\right)\approx 0{,}7107.
Logo
W_{1\to2}\approx 3518{,}26\times 0{,}7107 \approx 2500{,}6\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Para a transformação isotérmica de um gás ideal, a energia interna depende só da temperatura. Como T não muda em 1→2, temos
\Delta U_{1\to2}=0.
Aplicando a primeira lei \Delta U=Q-W para 1→2:
Q_{1\to2}=W_{1\to2}\approx 2500{,}6\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Agora trato a etapa 2→3 (resfriamento a volume constante). Em volume constante o trabalho é nulo:
W_{2\to3}=0.
A variação de energia interna nessa etapa é dada por
\Delta U_{2\to3}=nC_V(T_3-T_2).
Lembro que T_2=T_1, então T_3-T_2=T_3-T_1=-100\\ \mathrm{K}. Substituo:
C_V=\frac{5}{2}R=2{,}5\times 8{,}314\approx 20{,}786\\ \mathrm{J\;K^{-1}},
\Delta U_{2\to3}=1\times 20{,}786\times(-100) \approx -2078{,}6\\ \mathrm{J}.
Como W_{2\to3}=0, pela primeira lei:
Q_{2\to3}=\Delta U_{2\to3}\approx -2078{,}6\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Somando as contribuições das duas etapas para obter as grandezas do processo total 1→3:
Trabalho total:
W_{1\to3}=W_{1\to2}+W_{2\to3}=2500{,}6+0=2500{,}6\\ \mathrm{J}.
Variação total de energia interna:
\Delta U_{1\to3}=\Delta U_{1\to2}+\Delta U_{2\to3}=0+(-2078{,}6)=-2078{,}6\\ \mathrm{J}.
(Observação: também podia usar diretamente \Delta U=nC_V(T_3-T_1).)
Calor total trocado:
Q_{1\to3}=Q_{1\to2}+Q_{2\to3}=2500{,}6+(-2078{,}6)=422{,}0\\ \mathrm{J}.
(Confere com primeira lei: \Delta U=Q-W \Rightarrow Q=\Delta U+W=-2078{,}6+2500{,}6=422{,}0\\ \mathrm{J}.)
Variação total de entalpia: para gás ideal \Delta H=nC_P(T_3-T_1). Calculo:
C_P=\frac{7}{2}R=3{,}5\times 8{,}314\approx 29{,}100\\ \mathrm{J\;K^{-1}},
\Delta H_{1\to3}=1\times 29{,}100\times(-100)\approx -2910{,}1\\ \mathrm{J}.

Resposta

W=2{,}50\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
Q=4{,}22\times 10^{2}\\ \mathrm{J}
\Delta U=-2{,}08\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
\Delta H=-2{,}91\times 10^{3}\\ \mathrm{J}

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