Grandes quantidades de gás natural liquefeito (GNL) são transportadas em navios-tanques. No porto de destino, a distribuição é efetuada após a vaporização do GNL, com ele sendo alimentado nas tubulações como gás. O GNL chega no navio-tanque na pressão atmosférica e a 113,7 \mathrm{~K}, e representa um possível sumidouro de calor para utilização como um reservatório frio em uma máquina térmica. Para o descarregamento do GNL como vapor a uma vazão de 9.000 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1}, medida a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1,0133 bar, e admitindo a disponibilidade de uma fonte de calor adequada a 30^{\circ} \mathrm{C}, qual a potência máxima possível que pode ser obtida e qual a taxa de transferência de calor retirada da fonte de calor? Suponha que o GNL a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1,0133 bar seja um gás ideal com massa molar igual a 17. Também suponha que o GNL somente vaporize, absorvendo apenas o seu calor latente de 512 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1}, a 113,7 \mathrm{~K}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A potência máxima possível que pode ser obtida usando o GNL (a 113,7\\ \mathrm{K}) como reservatório frio e uma fonte quente a 30^\circ\mathrm{C}.
  2. A taxa de transferência de calor retirada da fonte de calor (isto é, a potência de calor fornecida pelo reservatório quente).
Informações dadas (relevantes):
\begin{aligned} &\text{Vazão volumétrica do gás como vapor:}\\ \dot{V}=9{.}000\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}\\ \text{medida a }25^\circ\mathrm{C}\\ \text{e }1{,}0133\\ \mathrm{bar},\\\ &\text{Temperatura do gás líquido (reservatório frio):}\\ T_c = 113{,}7\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Temperatura da fonte quente:}\\ T_h = 30^\circ\mathrm{C} = 303{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Massa molar do gás:}\\ M = 17\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} = 0{,}017\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}},\\\ &\text{Calor latente de vaporização (apenas este é absorvido):}\\ L = 512\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}} = 512{.}000\\ \mathrm{J\,kg^{-1}},\\\ &\text{Pressão de referência:}\\ p = 1{,}0133\\ \mathrm{bar} = 1{,}0133\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}ãéááíóáçãéãê
Observação importante: o enunciado diz explicitamente para supor que o GNL absorve apenas o calor latente em 113{,}7\\ \mathrm{K}. Usaremos essa hipótese para calcular a taxa de calor rejeitada para o reservatório frio.

Passo 2

Converter a vazão volumétrica \dot{V} em vazão mássica \dot{m} usando a lei dos gases ideais. Explicando a fórmula usada: a lei dos gases ideais, em forma molar, é
pV = n R T,
onde p é a pressão, V o volume, n o número de mols e R a constante universal dos gases ( R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}). Para vazões:
\dot{n}=\frac{p\dot{V}}{R T}.
A partir da vazão molar \dot{n} obtemos a vazão mássica
\dot{m}=\dot{n}\,M.
Aqui: \dot{V}=9{.}000\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}, T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}, p=1{,}0133\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, M=0{,}017\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}. Substituindo:
\dot{n}=\frac{1{,}0133\times10^{5}\times 9{.}000}{8{,}314462618\times 298{,}15}\quad\text{mol s}^{-1}.
Calculemos numericamente:
\dot{n}\approx 3{,}679\times 10^{5}\\ \mathrm{mol\,s^{-1}}.
Logo
\dot{m}=\dot{n}\,M \approx 3{,}679\times10^{5}\times 0{,}017 \approx 6{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.
Interpretação: estamos transformando o fluxo volumétrico medido nas condições de 25^\circ\mathrm{C} e 1{,}0133\\ \mathrm{bar} em quantos kg de gás passam por segundo.

Passo 3

Calcular a taxa de calor absorvida pelo GNL ao vaporizar (que é a mesma taxa de calor rejeitada pelo motor para o reservatório frio), usando
\dot{Q}_c = \dot{m}\,L,
onde L é o calor latente por unidade de massa. Substituindo os valores:
\dot{Q}_c \approx 6{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\times 512{.}000\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Fazendo a conta:
\dot{Q}_c \approx 3{,}20\times10^{9}\\ \mathrm{W}.
Explicação didática: \dot{Q}_c é a potência necessária para vaporizar a quantidade de massa que passa por segundo; como o enunciado pede que só consideremos o calor latente, não somamos nenhum aquecimento sensível.

Passo 4

Encontrar a eficiência máxima termodinâmica da máquina térmica que opera entre as temperaturas dadas. A eficiência máxima entre duas fontes térmicas está dada pela eficiência de Carnot:
\eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde T_c e T_h são, em kelvin, as temperaturas do reservatório frio e quente, respectivamente. Isso representa a eficiência máxima teórica que uma máquina térmica reversível pode alcançar entre essas duas temperaturas.
Substituindo:
\eta = 1 - \frac{113{,}7}{303{,}15} \approx 1 - 0{,}3752 \approx 0{,}6248.
Interpretação: no melhor dos mundos (ciclo reversível), podemos converter cerca de 62{,}48\% do calor extraído da fonte quente em trabalho.

Passo 5

Relacionar as taxas de calor e potência do ciclo reversível. Para um ciclo térmico:
\dot{W}_{\max} = \eta\,\dot{Q}_h,
onde \dot{Q}_h é a taxa de calor retirada da fonte quente e \dot{W}_{\max} é a potência máxima extraível. Também vale a relação de Carnot entre \dot{Q}_c e \dot{Q}_h:
\frac{\dot{Q}_c}{\dot{Q}_h}=\frac{T_c}{T_h}.
Dessa relação podemos escrever \dot{Q}_h em função de \dot{Q}_c:
\dot{Q}_h = \dot{Q}_c\frac{T_h}{T_c}.
Substituindo em \dot{W}_{\max} = \eta\,\dot{Q}_h e usando \eta=1-T_c/T_h, obtemos uma expressão direta em termos de \dot{Q}_c:
\dot{W}_{\max} = \dot{Q}_c\left(\frac{T_h}{T_c}-1\right).
Essa forma é útil porque já calculamos \dot{Q}_c na etapa anterior.

Passo 6

Calcular numericamente a potência máxima \dot{W}_{\max} usando \dot{Q}_c e as temperaturas:
\dot{W}_{\max} \approx 3{,}202\times10^{9}\\ \mathrm{W}\times\left(\frac{303{,}15}{113{,}7}-1\right).
Avaliação do fator:
\frac{303{,}15}{113{,}7}-1 \approx 2{,}6661-1 \approx 1{,}6661.
Portanto
\dot{W}_{\max} \approx 3{,}202\times10^{9}\times 1{,}6661 \approx 5{,}34\times10^{9}\\ \mathrm{W}.
Ou seja, a potência máxima teoricamente extraível é da ordem de 5{,}34\\ \mathrm{GW}.

Passo 7

Calcular a taxa de calor retirada da fonte quente \dot{Q}_h. Usamos \dot{Q}_h=\dot{Q}_c+\dot{W}_{\max} (conservação de energia) ou diretamente \dot{Q}_h=\dot{Q}_c\,T_h/T_c. Usando a soma:
\dot{Q}_h \approx 3{,}202\times10^{9}\\\ +\\\ 5{,}34\times10^{9}\\ \mathrm{W} \approx 8{,}54\times10^{9}\\ \mathrm{W}.
Confirmação pela relação de Carnot:
\dot{Q}_h \approx 3{,}202\times10^{9}\times\frac{303{,}15}{113{,}7}\approx 8{,}54\times10^{9}\\ \mathrm{W},
o que coincide.

Passo 8

Resumo rápido e encorajamento: concluímos que, sob as hipóteses do enunciado (idealizações e só calor latente), a máquina de Carnot entre 303{,}15\\ \mathrm{K} e 113{,}7\\ \mathrm{K} aplicada ao fluxo dado de GNL pode dar uma potência enorme — ordem de gigawatts — e exige uma retirada de calor da fonte quente também na ordem de gigawatts. Isso é um resultado teórico máximo; na prática ciclos reais têm eficiências menores e haveria calor sensível a considerar, perdas, etc. Mas para a prova, este é o procedimento e os resultados corretos.

Resposta

Potência máxima possível: \dot{W}_{\max}\approx 5{,}34\times 10^{9}\\ \mathrm{W}.
Taxa de transferência de calor retirada da fonte quente: \dot{Q}_h\approx 8{,}54\times 10^{9}\\ \mathrm{W}.

Exercícios relacionados