Um gás ideal, com
e
, é levado de
bar e
para
bar e
por intermédio dos seguintes processos mecanicamente reversíveis:
(a) Compressão isotérmica.
Calcule
e
em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama
.
(a) Compressão isotérmica.
Passo 1
O enunciado pede que, para uma compressão isotérmica reversível de um gás ideal, calculemos
,
,
e
e que esbocemos a trajetória no diagrama
. As informações fornecidas são:
o processo é mecanicamente reversível e isotérmico (temperatura constante).
Passo 2
Primeiro, lembrando uma propriedade muito útil do gás ideal: a equação de estado é
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols,
a constante universal e
a temperatura. Para um processo isotérmico
é constante, logo
é constante ao longo do processo. Podemos calcular esse valor a partir do estado 1:
Cuidado com unidades:
, e
. Assim,
Este número (
) será usado nas contas de trabalho e calor.
Passo 3
Agora vamos obter a expressão do trabalho reversível em um processo isotérmico de gás ideal. Por definição, o trabalho realizado pelo sistema (convenção usual de termodinâmica:
= trabalho realizado pelo sistema) em um processo reversível é
Como o gás é ideal e isotérmico,
com
constante. Substituindo,
Observação sobre sinal: se
(compressão) então
, logo
— o sistema realiza trabalho negativo, isto é, trabalho é feito sobre o sistema.
Passo 4
Agora substituímos o valor de
calculado no Passo 2 e os volumes dados:
Calculemos
:
, portanto
. Assim
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 5
Explique por que
no processo isotérmico: para um gás ideal a energia interna depende somente da temperatura e pode ser escrita como
Como o processo é isotérmico,
, logo
(Distribuição física: a energia interna não muda porque a temperatura não muda.)
Passo 6
A entalpia de um gás ideal também depende apenas da temperatura:
. Novamente
, portanto
Passo 7
Use a Primeira Lei da Termodinâmica na forma (convenção
= trabalho feito pelo sistema):
Como
, temos
Portanto o calor trocado é numericamente igual ao trabalho (incluindo o sinal). Logo
Interpretação física: o trabalho foi feito sobre o sistema (valor negativo de
), então calor teve de ser retirado do sistema (
) para manter a temperatura constante.
Passo 8
Esboço da trajetória no diagrama
: como o processo é isotérmico para um gás ideal,
constante com valor
(pegamos esse produto dos dados:
em unidades bar·m³ — ao plotar em eixos
(vertical, em bar) e
(horizontal, em m³) a curva é uma hipérbole do tipo
Marque o ponto inicial
à direita e para baixo, e o ponto final
à esquerda e para cima; a curva conectando-os é a hipérbole decrescente que passa por esses pontos. Como pedido, se houvesse outros processos (b, c, …) eles seriam desenhados no mesmo gráfico; aqui só temos o processo (a).