Um gás ideal, com C_{P}=(5 / 2) R e C_{V}=(3 / 2) R, é levado de P_{1}=1 bar e V_{1}^{t}=12 \mathrm{~m}^{3} para P_{2}=12 bar e V_{2}^{t} =1 \mathrm{~m}^{3} por intermédio dos seguintes processos mecanicamente reversíveis:
(a) Compressão isotérmica.
Calcule Q, W, \Delta U^{t} e \Delta H^{t} em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama P V.

Passo 1

O enunciado pede que, para uma compressão isotérmica reversível de um gás ideal, calculemos Q, W, \Delta U^{t} e \Delta H^{t} e que esbocemos a trajetória no diagrama P\!V. As informações fornecidas são:
C_{P}=\tfrac{5}{2}R,\quad C_{V}=\tfrac{3}{2}R,
P_{1}=1\\ \text{bar},\quad V_{1}^{t}=12\\ \mathrm{m^{3}},
P_{2}=12\\ \text{bar},\quad V_{2}^{t}=1\\ \mathrm{m^{3}},
o processo é mecanicamente reversível e isotérmico (temperatura constante).

Passo 2

Primeiro, lembrando uma propriedade muito útil do gás ideal: a equação de estado é
PV=nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal e T a temperatura. Para um processo isotérmico T é constante, logo nRT é constante ao longo do processo. Podemos calcular esse valor a partir do estado 1:
nRT = P_{1}V_{1}.
Cuidado com unidades: 1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}, e \mathrm{Pa\cdot m^{3}}=\mathrm{J}. Assim,
nRT = P_{1}V_{1} = (1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\cdot(12\\ \mathrm{m^{3}})=1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Este número ( 1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{J}) será usado nas contas de trabalho e calor.

Passo 3

Agora vamos obter a expressão do trabalho reversível em um processo isotérmico de gás ideal. Por definição, o trabalho realizado pelo sistema (convenção usual de termodinâmica: W = trabalho realizado pelo sistema) em um processo reversível é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV.
Como o gás é ideal e isotérmico, P=\dfrac{nRT}{V} com nRT constante. Substituindo,
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{dV}{V} = nRT\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Observação sobre sinal: se V_{2}<V_{1} (compressão) então \ln(V_{2}/V_{1})<0, logo W<0 — o sistema realiza trabalho negativo, isto é, trabalho é feito sobre o sistema.

Passo 4

Agora substituímos o valor de nRT calculado no Passo 2 e os volumes dados:
W = (1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{J})\cdot\ln\!\left(\frac{1}{12}\right).
Calculemos \ln(12): \ln(12)\approx2{,}4849, portanto \ln(1/12)=-\ln(12)\approx-2{,}4849. Assim
W \approx 1{,}2\times10^{6}\times(-2{,}4849) \approx -2{,}9819\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
W \approx -2{,}98\times10^{6}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Explique por que \Delta U^{t}=0 no processo isotérmico: para um gás ideal a energia interna depende somente da temperatura e pode ser escrita como
\Delta U = n C_{V}\Delta T.
Como o processo é isotérmico, \Delta T=0, logo
\Delta U^{t}=0\\ \mathrm{J}.
(Distribuição física: a energia interna não muda porque a temperatura não muda.)

Passo 6

A entalpia de um gás ideal também depende apenas da temperatura: \Delta H = n C_{P}\Delta T. Novamente \Delta T=0, portanto
\Delta H^{t}=0\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Use a Primeira Lei da Termodinâmica na forma (convenção W = trabalho feito pelo sistema):
\Delta U = Q - W.
Como \Delta U^{t}=0, temos
0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.
Portanto o calor trocado é numericamente igual ao trabalho (incluindo o sinal). Logo
Q \approx -2{,}98\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: o trabalho foi feito sobre o sistema (valor negativo de W), então calor teve de ser retirado do sistema ( Q<0 ) para manter a temperatura constante.

Passo 8

Esboço da trajetória no diagrama P\!V: como o processo é isotérmico para um gás ideal, P\cdot V= constante com valor 12\\ \text{bar}\cdot\mathrm{m^{3}} (pegamos esse produto dos dados: P_{1}V_{1}=1\cdot12=12 em unidades bar·m³ — ao plotar em eixos P (vertical, em bar) e V (horizontal, em m³) a curva é uma hipérbole do tipo
P=\frac{12}{V}\quad(\text{com }P\text{ em bar e }V\text{ em m}^{3}).
Marque o ponto inicial (V_{1}=12\\ \mathrm{m^{3}},\;P_{1}=1\\ \text{bar}) à direita e para baixo, e o ponto final (V_{2}=1\\ \mathrm{m^{3}},\;P_{2}=12\\ \text{bar}) à esquerda e para cima; a curva conectando-os é a hipérbole decrescente que passa por esses pontos. Como pedido, se houvesse outros processos (b, c, …) eles seriam desenhados no mesmo gráfico; aqui só temos o processo (a).

Resposta

Q = -2{,}98\times10^{6}\\ \mathrm{J}
W = -2{,}98\times10^{6}\\ \mathrm{J}
\Delta U^{t} = 0\\ \mathrm{J}
\Delta H^{t} = 0\\ \mathrm{J}

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