Um mol de nitrogênio gasoso ocupa 0,10 \mathrm{~L} a 300 K . Calcule a pressão usando a equação dos gases ideais e a equação de van der Waals ( a=1,39 \mathrm{~L}^{2} \cdot \mathrm{~atm} / \mathrm{mol}^{2}, \mathrm{~b}= 0,0391 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} ). Comente a diferença.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a pressão do gás em duas formulações diferentes. Dados: n=1 mol, V=0,10\\ \mathrm{L}, T=300\\ \mathrm{K}. Constantes para van der Waals: a=1,39\\ \mathrm{L}^{2}\!\cdot\!\mathrm{atm}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-2} e b=0,0391\\ \mathrm{L}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}. Perguntas: (1) calcular a pressão usando a equação dos gases ideais; (2) calcular a pressão usando a equação de van der Waals; (3) comentar a diferença entre os resultados.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a equação dos gases ideais. A equação é
PV = nRT.
Aqui:
  • P é a pressão do gás (unidade: \mathrm{atm} se usarmos R em \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}});
  • V é o volume ocupado pelo gás (aqui \mathrm{L});
  • n é a quantidade de matéria (aqui \mathrm{mol});
  • R é a constante dos gases ideais; usaremos R = 0,082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
    Para achar P isolamos P:
P = \frac{nRT}{V}.
Esta fórmula assume que as moléculas não ocupam volume próprio e não interagem entre si (idealização).

Passo 3

Aplicando a fórmula do gás ideal com os valores dados. Primeiro calculo o numerador nRT:
nRT = 1 \cdot 0,082057\cdot 300 = 24,6171\\ \mathrm{L\cdot atm}.
Agora dividimos por V:
P_{\text{ideal}} = \frac{24,6171}{0,10} = 246,171\\ \mathrm{atm}.
Arredondando com duas casas decimais: P_{\text{ideal}} \approx 246,17\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Agora a equação de van der Waals. Ela corrige a equação ideal para levar em conta o volume finito das moléculas e as forças intermoleculares. A forma para uma amostra com n mol é
\left(P + a\left(\frac{n}{V}\right)^{2}\right)\,(V - nb) = nRT.
Nessa expressão:
  • o termo a\left(\dfrac{n}{V}\right)^{2} corrige a pressão diminuindo-a por causa das forças atrativas entre moléculas (unidade de a escolhida para dar pressão em \mathrm{atm});
  • o termo V-nb é o “volume livre” disponível para movimento, subtraindo o volume próprio das moléculas ( b por mol).
    Isolamos P:
P = \frac{nRT}{V-nb} - a\left(\frac{n}{V}\right)^{2}.
Vou calcular cada parcela passo a passo.

Passo 5

Calculemos nb, V-nb e \dfrac{n}{V} com os valores dados:
nb = 1 \cdot 0,0391 = 0,0391\\ \mathrm{L}.
V-nb = 0,10 - 0,0391 = 0,0609\\ \mathrm{L}.
\frac{n}{V} = \frac{1}{0,10} = 10\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
O quadrado é
\left(\frac{n}{V}\right)^{2} = 10^{2} = 100\\ \mathrm{mol^{2}\cdot L^{-2}}.

Passo 6

Calculemos a primeira parcela \dfrac{nRT}{V-nb}:
\frac{nRT}{V-nb} = \frac{24,6171}{0,0609} \approx 404,2217\\ \mathrm{atm}.
Agora a parcela de correção atrativa a\left(\dfrac{n}{V}\right)^{2}:
a\left(\frac{n}{V}\right)^{2} = 1,39 \cdot 100 = 139\\ \mathrm{atm}.
Subtraindo:
P_{\mathrm{vdW}} = 404,2217 - 139 = 265,2217\\ \mathrm{atm}.
Arredondando: P_{\mathrm{vdW}} \approx 265,22\\ \mathrm{atm}.

Passo 7

Comparação numérica e interpretação física didática. Temos:
P_{\text{ideal}} \approx 246,17\\ \mathrm{atm},\qquad P_{\mathrm{vdW}} \approx 265,22\\ \mathrm{atm}.
A diferença absoluta é 265,22-246,17 = 19,05\\ \mathrm{atm}, ou cerca de
\frac{19,05}{246,17}\approx 0,0774 \Rightarrow 7,74\%\\ \text{maior}.
Interpretação: aqui o volume real V é muito pequeno ( 0,10\\ \mathrm{L} para 1 mol), então o termo de volume excluído nb reduz muito o volume livre ( V-nb é bem menor que V), o que aumenta fortemente a parcela \dfrac{nRT}{V-nb} — isto representa efeitos repulsivos/ocupação de volume molecular que elevam a pressão em relação ao ideal. O termo atrativo a(n/V)^{2} tende a diminuir a pressão, mas no nosso caso a elevação causada pela redução do volume livre é maior do que a redução pela atração intermolecular, portanto o resultado líquido (van der Waals) dá uma pressão maior que a prevista pelo modelo ideal. Isso faz sentido físico: em compressões extremas o volume finito das moléculas domina e aumenta a pressão.

Resposta

Pressão (gás ideal): 246,17\\ \mathrm{atm}
Pressão (van der Waals): 265,22\\ \mathrm{atm}

Exercícios relacionados