Mostre que:
Cv=-T(partial^2 Apartial T^2)V
e
Cp=-T(partial^2 Gpartial T^2)P

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar duas fórmulas em termodinâmica estatística:
1)

2)
Conteúdo envolvido: definições de funções de energia livre (Helmholtz e Gibbs ), entropia via derivadas parciais dessas funções, e as capacidades térmicas e . Vamos usar o primeiro princípio e as relações diferenciais de e , além de expressar e em termos de derivadas de .

Passo 2

Derivação de A = U - T,S :
  1. Lembre que a energia livre de Helmholtz é dA = dU - T,dS - S,dT
  2. Diferenciando total: dA = (T,dS -P,dV) - T,dS - S,dT = -P,dV - S,dT
  3. Pelo primeiro princípio, l(partial Apartial Tr)V = -S . Então Cv = l(partial Upartial Tr)V
  4. Comparando com dU = T,dS - P,dV Rightarrow l(partial Upartial Tr)V = T;l(partial Spartial Tr)V , vemos que l(partial Spartial Tr)V = -,l(partial^2 Apartial T^2r)V
  5. A capacidade térmica a volume constante é Cv = T,l(partial S/partial Tr)V = -,T;l(partial^2 A/partial T^2r)V Mas também vale
  6. Como , então
  7. Juntando tudo:

Passo 3

Derivação de G = H - T,S = U + P,V - T,S :
  1. A energia livre de Gibbs é dG = dU + P,dV + V,dP - T,dS - S,dT
  2. Diferenciando total: dG = (T,dS - P,dV) +P,dV +V,dP -T,dS -S,dT = V,dP - S,dT
  3. Com l(partial Gpartial Tr)P = -S , vem Cp = l(partial Hpartial Tr)P = T,l(partial Spartial Tr)P
  4. Logo, comparando com a forma l(partial Spartial Tr)P = -,l(partial^2 Gpartial T^2r)P , obtemos Cp = T,l(partial S/partial Tr)P = -,T;l(partial^2 G/partial T^2r)P
  5. A capacidade térmica a pressão constante é
  6. Como , então
  7. Assim

Resposta

Portanto mostramos que
Cv = -,T;l(partial^2 Apartial T^2r)V, Cp = -,T;l(partial^2 Gpartial T^2r)P

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