Mostre que:
e
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra mostrar duas fórmulas em termodinâmica estatística:
1)
2)
1)
2)
Conteúdo envolvido: definições de funções de energia livre (Helmholtz
e Gibbs
), entropia
via derivadas parciais dessas funções, e as capacidades térmicas
e
. Vamos usar o primeiro princípio e as relações diferenciais de
e
, além de expressar
e
em termos de derivadas de
.
Passo 2
Derivação de
:
- Lembre que a energia livre de Helmholtz é
- Diferenciando total:
- Pelo primeiro princípio,
. Então - Comparando com
, vemos que - A capacidade térmica a volume constante é
Mas também vale - Como
, então - Juntando tudo:
Passo 3
Derivação de
:
- A energia livre de Gibbs é
- Diferenciando total:
- Com
, vem - Logo, comparando com a forma
, obtemos - A capacidade térmica a pressão constante é
- Como
, então - Assim
Resposta
Portanto mostramos que