Demonstrar que:
(partial barUpartial T)P=barCP-P(partial barVpartial T)P

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte relação entre derivadas parciais de funções termodinâmicas molares:
l(partial bar Upartial Tr)P = bar CP ;-; P ,l(partial bar Vpartial Tr)P,
Aqui o conteúdo é Termodinâmica (funções de estado, energia interna , entalpia , entropia , capacidade calorífica ) e vamos usar diferenciais exatos e a definição de entalpia e de .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a entalpia molar bar H = bar U + P,bar V é definida por
Aqui é a energia interna molar e é o volume molar.

Passo 3

Agora tomamos o diferencial dessa definição, tratando dbar H = dbar U + P,dbar V + bar V,dP como variável também:
dbar H = T,dbar S + bar V,dP,
Por outro lado, da Termodinâmica sabemos a forma fundamental (para quantidade fixa de matéria)
onde é a temperatura e a entropia molar.

Passo 4

Comparando os dois T,dbar S + bar V,dP = dbar U + P,dbar V + bar V,dP , vemos que
dbar U = T,dbar S ;-; P,dbar V
Podemos cancelar o termo dos dois lados, restando
Esse é já o diferencial de em função de e .

Passo 5

A gente quer dbar U = l(partial bar Upartial Tr)P dT + l(partial bar Upartial Pr)T dP . Para isso, escrevemos
dbar U = T,dbar S - P,dbar V,
Mas, como acabamos de achar
l(partial bar Upartial Tr)P dT = T,l(partial bar Spartial Tr)P dT ;-; P,l(partial bar Vpartial Tr)P dT
podemos também escrever, para variações em que só l(partial bar Upartial Tr)P = T,l(partial bar Spartial Tr)P ;-; P,l(partial bar Vpartial Tr)P muda e fica constante ( ),
Dividindo por :

Passo 6

Por definição de capacidade calorífica molar a pressão constante,
bar CP ;=;l(partial bar Hpartial Tr)P = T,l(partial bar Spartial Tr)P,
onde usamos quando é constante.
Logo .

Resposta

Substituindo na expressão do passo 5, obtemos
boxed l(partial bar Upartial Tr)P = bar CP ;-; P,l(partial bar Vpartial Tr)P

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