Demonstrar que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte relação entre derivadas parciais de funções termodinâmicas molares:
Aqui o conteúdo é Termodinâmica (funções de estado, energia interna
, entalpia
, entropia
, capacidade calorífica
) e vamos usar diferenciais exatos e a definição de entalpia e de
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a entalpia molar
é definida por
Aqui
é a energia interna molar e
é o volume molar.
Passo 3
Agora tomamos o diferencial dessa definição, tratando
como variável também:
Por outro lado, da Termodinâmica sabemos a forma fundamental (para quantidade fixa de matéria)
onde
é a temperatura e
a entropia molar.
Passo 4
Comparando os dois
, vemos que
Podemos cancelar o termo
dos dois lados, restando
Esse é já o diferencial de
em função de
e
.
Passo 5
A gente quer
. Para isso, escrevemos
Mas, como acabamos de achar
podemos também escrever, para variações em que só
muda e
fica constante (
),
Dividindo por
:
Passo 6
Por definição de capacidade calorífica molar a pressão constante,
onde usamos
quando
é constante.
Logo
.
Resposta
Substituindo na expressão do passo 5, obtemos