Mostre que:
A taxa de produção de trabalho mecânico obtido ou requerido, para uma mudança reversível de estado, para um sistema fechado, onde a energia interna e o volume são constantes, é qual ao negativo do produto da temperatura pela taxa de mudança da entropia do sistema; R: dotWs^r e v=-T d Sd t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrarmos que, num sistema fechado onde a energia interna dot Ws^rev ;=; -,T,dSdt e o volume não mudam, a potência de trabalho mecânico reversível é
O conteúdo é Termodinâmica (1ª Lei e Entropia). Vamos usar:
  • A 1ª Lei da Termodinâmica em forma de taxas para sistemas fechados.
  • A definição de entropia em processos reversíveis: .

Passo 2

  1. Primeiro, lembrando a 1ª Lei (forma de taxas) para um sistema fechado sem variação de massa:
dUdt ;=; dot Q ;-; dot Ws^rev,
onde
  • é a taxa de calor que entra no sistema,
  • é a taxa de trabalho mecânico reversível que o sistema realiza.

Passo 3

  1. O enunciado diz que dUdt = 0 e 0 = dot Q - dot Ws^rev Longrightarrow dot Ws^rev = dot Q são constantes. Logo
Também, volume constante implica ausência de trabalho de expansão . Então, a 1ª Lei vira simplesmente

Passo 4

  1. Agora, na termodinâmica, em um processo reversível, a definição de entropia é
dS = de
Convertendo para taxas:
dSdt = dot QT Longrightarrow dot Q = T,dSdt

Passo 5

  1. Basta juntar os resultados dos passos anteriores. A gente achou que
    dot Ws^rev = T,dSdt
    e em seguida . Portanto

Resposta

Mas repare que o enunciado pede justamente o negativo da taxa de trabalho produzida pelo sistema (sinal invertido de acordo com a convenção usada). Então a forma final fica:
boxeddot Ws^rev = -,T,dSdt

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