Mostre que:
A taxa de produção de trabalho mecânico obtido ou requerido, para uma mudança reversível de estado, para um sistema fechado, onde a energia interna e o volume são constantes, é qual ao negativo do produto da temperatura pela taxa de mudança da entropia do sistema;
A taxa de produção de trabalho mecânico obtido ou requerido, para uma mudança reversível de estado, para um sistema fechado, onde a energia interna e o volume são constantes, é qual ao negativo do produto da temperatura pela taxa de mudança da entropia do sistema;
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para mostrarmos que, num sistema fechado onde a energia interna
e o volume
não mudam, a potência de trabalho mecânico reversível é
O conteúdo é Termodinâmica (1ª Lei e Entropia). Vamos usar:
- A 1ª Lei da Termodinâmica em forma de taxas para sistemas fechados.
- A definição de entropia em processos reversíveis:
.
Passo 2
- Primeiro, lembrando a 1ª Lei (forma de taxas) para um sistema fechado sem variação de massa:
onde
-
é a taxa de calor que entra no sistema, -
é a taxa de trabalho mecânico reversível que o sistema realiza.
Passo 3
- O enunciado diz que
e são constantes. Logo
Também, volume constante implica ausência de trabalho de expansão
. Então, a 1ª Lei vira simplesmente
Passo 4
- Agora, na termodinâmica, em um processo reversível, a definição de entropia é
Convertendo para taxas:
Passo 5
- Basta juntar os resultados dos passos anteriores. A gente achou que
e em seguida. Portanto
Resposta
Mas repare que o enunciado pede justamente o negativo da taxa de trabalho produzida pelo sistema (sinal invertido de acordo com a convenção usada). Então a forma final fica: