Um motor térmico funciona segundo o ciclo de Carnot, com pressões de 10 e 1 atm . O fluxo utilizado no circuito interno é água e deseja-se que a potência da turbina seja de 15000 Hp , calcule:
a) Vazão mássica do vapor no ciclo
b) Fluxo de calor trocado na caldeira
c) Fluxo de calor trocado no condensador
d) Eficiência térmica e eficiência máxima

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar bem claro o que é pedido):
  • Pressões do ciclo: \,P_h = 10\\ \text{atm} e \,P_c = 1\\ \text{atm}.
  • Fluido de trabalho: água (vapor/água).
  • Potência desejada da turbina: \, \dot{W} = 15000\\ \text{Hp}.
As perguntas são:
(a) calcular a vazão mássica do vapor no ciclo;
(b) calcular o fluxo de calor trocado na caldeira ( \dot{Q}_{in});
(c) calcular o fluxo de calor trocado no condensador ( \dot{Q}_{out});
(d) calcular a eficiência térmica e indicar a eficiência máxima.
Observação importante (para não deixar dúvida): o enunciado diz que o ciclo é o ciclo de Carnot. Vou usar a definição teórica do ciclo de Carnot (eficiência determinada pelas temperaturas dos reservatórios) e, para estimar a vazão mássica, vou assumir que todo o calor fornecido na caldeira é usado para vaporizar água à temperatura de ebulição correspondente a P_h (isto é, usar o calor latente de vaporização em P_h). Vou explicitar os valores numéricos de tabelas de vapor que usei.

Passo 2

Entender a relação pressão ↔ temperatura para água saturada (peguei estes valores em tabelas de vapor saturado padrão):
  • À pressão \,P_h = 10\\ \text{atm} a temperatura de saturação é aproximadamente \,T_h = 179{,}88^\circ\mathrm{C} = 453{,}03\\ \mathrm{K}.
  • À pressão \,P_c = 1\\ \text{atm} a temperatura de saturação é aproximadamente \,T_c = 100{,}00^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
Explicando por que eu uso essas temperaturas: no ciclo de Carnot o calor é trocado em isotermas, então os reservatórios térmicos efetivos têm temperaturas iguais às temperaturas de ebulição nas pressões dadas (se a caldeira e condensador operam em mudança de fase, faz sentido usar as temperaturas de saturação).

Passo 3

Fórmula da eficiência do ciclo de Carnot (a máxima eficiência entre dois reservatórios térmicos):
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde \,T_h e \,T_c são as temperaturas absolutas (em kelvin) do reservatório quente e frio, respectivamente.
Agora calculo numericamente:
\eta = 1 - \frac{373{,}15}{453{,}03} = 1 - 0{,}82363\ldots \approx 0{,}17637.
Ou seja,
\eta \approx 0{,}1764 \quad\text{(ou)}\quad 17{,}64\%.
Comentário didático: isto significa que, no melhor caso reversível (Carnot), apenas cerca de 17{,}64\% do calor fornecido na caldeira pode ser convertido em trabalho; o resto é rejeitado no condensador.

Passo 4

Converter a potência dada para unidades SI (vou usar \,1\\ \text{Hp} = 745{,}7\\ \mathrm{W}, valor convencional aproximado):
\dot{W} = 15000\\ \text{Hp} \times 745{,}7\\ \frac{\mathrm{W}}{\text{Hp}} = 11\,185\,500\\ \mathrm{W} = 11\,185{,}5\\ \mathrm{kW}.
Explicando: trabalho/energia em termodinâmica costuma ser em kW (kJ/s), então já passo para kW para usar com calores em kJ/kg.

Passo 5

Calor fornecido na caldeira (taxa): como \dot{W} = \eta \,\dot{Q}_{in} para um ciclo térmico, temos
\dot{Q}_{in} = \frac{\dot{W}}{\eta}.
Substituindo números:
\dot{Q}_{in} = \frac{11\,185{,}5\\ \mathrm{kW}}{0{,}17637} \approx 63\,404\\ \mathrm{kW} \approx 63{,}4\\ \mathrm{MW}.
Didática: isto significa que para gerar \,11{,}185{,}5\\ \mathrm{kW} de trabalho com eficiência \,17{,}64\% é preciso fornecer \sim63{,}4\\ \mathrm{MW} de calor na caldeira.

Passo 6

Estimativa da vazão mássica do vapor (hipótese usada: todo o calor fornecido na caldeira é consumido na vaporização do fluido à pressão \,P_h; portanto a energia por kg é o calor latente de vaporização em \,P_h).
Valor na tabela de vapor (saturado) em \,P_h=10\\ \text{atm}:
  • Calor latente de vaporização em 10\\ \text{atm}: \,h_{fg}(P_h) \approx 2015{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}. (valor típico de tabela de vapor saturado.)
Relação entre taxa de calor e vazão mássica:
\dot{m} = \frac{\dot{Q}_{in}}{h_{fg}(P_h)}.
Converter \dot{Q}_{in} para \mathrm{kJ/s} (mas \mathrm{kW}=\mathrm{kJ/s} já serve). Substituindo:
\dot{m} = \frac{63\,404\\ \mathrm{kW}}{2015{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}} = \frac{63\,404\\ \mathrm{kJ/s}}{2015{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}} \approx 31{,}47\\ \mathrm{kg/s}.
Explicando passo a passo: cada quilograma de água vaporizada na caldeira a 10\\ \text{atm} precisa de \approx2015{,}3\\ \mathrm{kJ}. Como por segundo entra \approx63\,404\\ \mathrm{kJ}, o número de kg por segundo é a divisão acima.
Observação sobre a hipótese: isto é uma idealização conveniente para estimar a vazão mássica. Em ciclos reais (Rankine, etc.) as trocas de calor e as variações de entalpia entre estados podem ser diferentes; aqui usei a simplificação de vaporização completa na caldeira.

Passo 7

Fluxo de calor rejeitado no condensador \dot{Q}_{out}. Pelo balanço de energia do ciclo:
\dot{Q}_{out} = \dot{Q}_{in} - \dot{W}.
Substituindo:
\dot{Q}_{out} = 63\,404\\ \mathrm{kW} - 11\,185{,}5\\ \mathrm{kW} \approx 52\,218\\ \mathrm{kW} \approx 52{,}2\\ \mathrm{MW}.
Verificação usando a relação de Carnot (reversível): \dot{Q}_{out} = \dot{Q}_{in}\,\dfrac{T_c}{T_h}. Fazendo:
\dot{Q}_{out} = 63\,404\\ \mathrm{kW}\times\frac{373{,}15}{453{,}03}\approx 52\,218\\ \mathrm{kW},
coincidindo (boa checagem numérica).
Didática: esse calor é o que deve ser rejeitado ao condensador para que o ciclo reinicie; é grande porque a eficiência é baixa.

Passo 8

Resumo dos resultados numéricos e interpretação das eficiências:
  • Eficiência térmica do ciclo (Carnot) calculada: \eta \approx 0{,}1764 ou 17{,}64\%.
  • Eficiência máxima: para dois reservatórios a esta e àquela temperatura, a eficiência máxima teórica é a eficiência de Carnot — portanto a eficiência máxima também é \,17{,}64\%. Em palavras: não existe ciclo térmico reversível entre esses dois reservatórios que supere 17{,}64\%.

Resposta

(a) \dot{m}\approx 31{,}47\\ \mathrm{kg/s}
(b) \dot{Q}_{in}\approx 63\,404\\ \mathrm{kW}\approx 63{,}4\\ \mathrm{MW}
(c) \dot{Q}_{out}\approx 52\,218\\ \mathrm{kW}\approx 52{,}2\\ \mathrm{MW}
(d) \eta = \eta_{\text{máx}} \approx 0{,}1764 \approx 17{,}64\%á

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