Um ciclo de Rankine opera com 5 Mpa na caldeira, do qual vapor sai a 500^{\circ} \mathrm{C}. A A temperatura no condensador é de 60^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a eficiência térmica do ciclo e a eficiência máxima, considerando que:
a) Todas as etapas do ciclo são reversíveis
b) A bomba e a turbina operam com 80 \% de eficiência

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar ponto a ponto para ficar claro o que temos e o que nos pedem):
  • Pressão na caldeira: \,P_{1}=5{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Vapor sai da caldeira a \,T_{1}=500^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do condensador: \,T_{cond}=60^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pedidos: para o ciclo de Rankine, calcular
    • a eficiência térmica do ciclo,
    • a eficiência máxima possível.
  • Dois cenários a considerar:
    • (a) todas as etapas do ciclo são reversíveis (isto é, ciclo ideal/isentrópico nas máquinas),
    • (b) bomba e turbina operam com \,80\% de eficiência (isto é, \eta_{\text{turbina}}=0{,}80 e \eta_{\text{bomba}}=0{,}80).
Observação: para obter propriedades (entalpias, entropias, volumes específicos) vou pegar valores nas tabelas de vapor (tabelas de água/vapor saturado e de vapor sobreaquecido). A seguir uso esses números para calcular passo a passo.

Passo 2

Peguei das tabelas de vapor os seguintes valores (arredondados com precisão adequada para cálculo manual):
  • Estado na caldeira (ponto 1): vapor sobreaquecido a \,P_{1}=5{,}0\\ \mathrm{MPa} e \,T_{1}=500^{\circ}\mathrm{C}: h_{1}=3375{,}1\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_{1}=6{,}590\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Para o condensador a \,T_{cond}=60^{\circ}\mathrm{C} (isto define a pressão do condensador P_{2} como a pressão de saturção a 60^{\circ}C): P_{2}=0{,}019946\\ \mathrm{MPa}.Das tabelas saturadas a 60^{\circ}\mathrm{C}: h_{f}=251{,}13\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_{f}=1{,}014\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
h_{g}=2675{,}9\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_{g}=8{,}151\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
v_{f}=0{,}001016\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Notas didáticas rápidas sobre esses números:
    • h é entalpia específica ( \mathrm{kJ/kg});
    • s é entropia específica ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)});
    • v é volume específico ( \mathrm{m^{3}/kg}).
    • Para expansão isentrópica na turbina usamos s_{2s}=s_{1} e obtemos qualidade x no ponto 2s a partir das entropias saturadas.

Passo 3

Explicando a ideia: na expansão isentrópica ideal temos s_{2s}=s_{1}. No condensador a pressão é a de saturação a 60^{\circ}C, então o vapor expandido pode ser uma mistura líquido-vapor com qualidade x. Para encontrar x usamos:
s_{2s}=s_{f}+x_{2s}\,(s_{g}-s_{f}) \quad\Rightarrow\quad x_{2s}=\dfrac{s_{2s}-s_{f}}{s_{g}-s_{f}}.
Substituindo números:
s_{2s}=s_{1}=6{,}590,\qquad s_{g}-s_{f}=8{,}151-1{,}014=7{,}137.
x_{2s}=\dfrac{6{,}590-1{,}014}{7{,}137}=\dfrac{5{,}576}{7{,}137}\approx0{,}7812.
Agora a entalpia correspondente:
h_{2s}=h_{f}+x_{2s}(h_{g}-h_{f}).
Calcule h_{g}-h_{f}=2675{,}9-251{,}13=2424{,}77\\ \mathrm{kJ/kg}. Assim
h_{2s}=251{,}13+0{,}7812\cdot2424{,}77\approx251{,}13+1894{,}7\approx2145{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 4

Explicando fórmulas usadas:
  • Trabalho específico da turbina (ideal) \,w_{t,s}=h_{1}-h_{2s}.
  • Trabalho específico da bomba (isentrópico) pode ser aproximado por \,w_{p,s}=v_{f}\,(P_{1}-P_{2}) (em kJ/kg convém converter unidades). A variação de entalpia na bomba isentrópica é h_{4s}-h_{3}=w_{p,s} porque trabalho de bombeamento entra na energia do fluido líquido.
  • Calor adicionado: q_{in}=h_{1}-h_{4} (para ciclo ideal h_{4}=h_{4s}).
  • Eficiência térmica do ciclo: \eta=\dfrac{w_{t}-w_{p}}{q_{in}}. No ciclo ideal usamos w_{t}=w_{t,s} e w_{p}=w_{p,s}.
Cálculos numéricos:
  • Trabalho da turbina (ideal): w_{t,s}=h_{1}-h_{2s}=3375{,}1-2145{,}8=1229{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho isentrópico da bomba: \Delta P = P_{1}-P_{2}=5{,}0-0{,}019946=4{,}980054\\ \mathrm{MPa}=4{,}980054\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
w_{p,s}=v_{f}\,\Delta P=\;0{,}001016\cdot4{,}980054\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=5{,}0597\\ \mathrm{kJ/kg}\\ (\text{lembre: dividir por }1000).
  • Entalpia após bomba isentrópica: h_{4s}=h_{3}+w_{p,s}=251{,}13+5{,}0597=256{,}19\\ \mathrm{kJ/kg},onde h_{3}=h_{f}=251{,}13\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor adicionado: q_{in}=h_{1}-h_{4s}=3375{,}1-256{,}19=3118{,}91\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido (ideal): w_{\text{líq}}=w_{t,s}-w_{p,s}=1229{,}3-5{,}0597=1224{,}24\\ \mathrm{kJ/kg}.í
  • Eficiência térmica do ciclo ideal: \eta_{\text{ideal}}=\dfrac{1224{,}24}{3118{,}91}\approx0{,}3925\approx39{,}25\%.
Breve interpretação: num ciclo Rankine ideal (turbina e bomba reversíveis) obtemos \approx39{,}3\% de eficiência térmica com as condições dadas.

Passo 5

Agora a eficiência máxima possível entre uma fonte quente e um sumidouro frio reversíveis (limite de Carnot) é
\eta_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{T_{fria}}{T_{quente}},
onde temperaturas devem estar em Kelvin. Convertendo:
T_{quente}=500^{\circ}\mathrm{C}=500+273{,}15=773{,}15\\ \mathrm{K},
T_{fria}=60^{\circ}\mathrm{C}=60+273{,}15=333{,}15\\ \mathrm{K}.
Logo
\eta_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{333{,}15}{773{,}15}=1-0{,}43094\approx0{,}56906\approx56{,}91\%.
Comentário didático: isto é o máximo teórico (nenhum ciclo real pode ultrapassar este valor) — e o Rankine ideal fica bem abaixo do Carnot, como é comum porque a adição e rejeição de calor no Rankine não ocorrem infinitamente próximas das temperaturas da fonte/sumidouro.

Passo 6

Agora vamos considerar as eficiências das máquinas:
  • Definição de eficiência da turbina (para queda de entalpia): \eta_{t}=\dfrac{h_{1}-h_{2}}{h_{1}-h_{2s}}\quad\Rightarrow\quad h_{2}=h_{1}-\eta_{t}(h_{1}-h_{2s}).
  • Definição de eficiência da bomba (isentrópica): \eta_{p}=\dfrac{w_{p,s}}{w_{p,\text{real}}}=\dfrac{h_{4s}-h_{3}}{h_{4}-h_{3}}\quad\Rightarrow\quad h_{4}=h_{3}+\dfrac{h_{4s}-h_{3}}{\eta_{p}}.
Substituindo \eta_{t}=\eta_{p}=0{,}80 e os valores já calculados:
  • Entalpia de saída real da turbina: h_{2}=h_{1}-0{,}80\,(h_{1}-h_{2s})=0{,}20\,h_{1}+0{,}80\,h_{2s}.
Numérico:
h_{2}=0{,}20\cdot3375{,}1+0{,}80\cdot2145{,}8=675{,}02+1716{,}64\approx2391{,}66\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho da turbina real: w_{t}=h_{1}-h_{2}=3375{,}1-2391{,}66=983{,}44\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho real da bomba: w_{p,\text{real}}=\dfrac{w_{p,s}}{\eta_{p}}=\dfrac{5{,}0597}{0{,}80}=6{,}3246\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_{4}=h_{3}+w_{p,\text{real}}=251{,}13+6{,}3246=257{,}45\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor adicionado no ciclo real: q_{in}=h_{1}-h_{4}=3375{,}1-257{,}45=3117{,}65\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido real: w_{\text{líq}}=w_{t}-w_{p,\text{real}}=983{,}44-6{,}3246=977{,}12\\ \mathrm{kJ/kg}.í
  • Eficiência térmica real com \,80\% nas máquinas: \eta_{\text{real}}=\dfrac{977{,}12}{3117{,}65}\approx0{,}3135\approx31{,}35\%.
Interpretação: a queda de eficiência em relação ao caso ideal surge porque a turbina produz menos trabalho que no ideal e a bomba consome um pouco mais de trabalho útil; o efeito líquido reduz a eficiência do ciclo de \approx39{,}3\% para \approx31{,}4\%.

Passo 7

  • Ciclo ideal (turbina e bomba reversíveis/isentrópicos): \eta\approx39{,}25\%.
  • Eficiência máxima termodinâmica (Carnot) entre 500^{\circ}\mathrm{C} e 60^{\circ}\mathrm{C}: \eta_{\text{Carnot}}\approx56{,}91\%.
  • Ciclo com bomba e turbina a 80\%: \eta\approx31{,}35\%.
  • A eficiência máxima ( \eta_{\text{Carnot}}) não muda com a eficiência das máquinas porque é um limite termodinâmico determinado apenas pelas temperaturas da fonte e do sumidouro.
Força aí — com estes passos você consegue reproduzir o cálculo na prova: pegue as propriedades nas tabelas, calcule h_{2s} por qualidade via entropia, use as fórmulas de eficiência da turbina e da bomba e depois a fórmula padrão \eta=(w_t-w_p)/q_{in}.

Resposta

a) Eficiência do ciclo (turbina e bomba reversíveis/isentrópicos): \eta\approx39{,}25\%
a) Eficiência máxima (Carnot entre 500^{\circ}\mathrm{C} e 60^{\circ}\mathrm{C}): \eta_{\text{Carnot}}\approx56{,}91\%
b) Eficiência do ciclo (bomba e turbina com 80\% de eficiência): \eta\approx31{,}35\%
b) Eficiência máxima (Carnot, mesma que acima): \eta_{\text{Carnot}}\approx56{,}91\%

Exercícios relacionados